i>Анализ. Пусть ABCD -- искомый квадрат, О -- его центр, М и N-- данные точки соответственно на сторонах АВ и CD (рис. 7). Если повернуть квадрат на 180° около его центра О, то он преобразуется сам в себя. Точка М займет некоторое положение М' на стороне CD, а точка N -- некоторое положение N' на стороне АВ. После этого нетрудно уже построить прямые АВ и CD и восстановить искомый квадрат.



Рис. 7

Построение. 1) Строим точку М', симметричную М относительно 0, и точку N', симметричную N относительно О. 2) Строим прямые MN' и NM'. 3) Повернем построенные прямые около точки О на 90°. Четыре построенные прямые ограничивают искомый квадрат.

Доказательство опускаем.

Исследование. По смыслу задачи невозможен случай, когда точки М и N располагаются с точкой О на одной прямой, но не симметричны относительно О. Если точки М и N симметричны относительно О, то задача становится неопределенной. В остальных случаях задача имеет единственное решение [2].

4.2.5 Метод подобия

Метод подобия состоит в том, что сначала строится некоторая фигура, подобная искомой, но удовлетворяющая не всем поставленным в задаче условиям. Затем построенную вспомогательную фигуру заменяем фигурой, ей подобной и удовлетворяющей уже всем требуемым условиям [18].

Задача решается методом подобия, если ее условие можно разделить на две части, одна из которых определяет форму фигуры с точностью до подобия, а вторая - размеры фигуры. При решении задач в классе или разборе задач из домашнего задания на этот метод следует задавать учащимся вопросы: Что (какая часть) в условии задачи определяет фигуру с точностью до подобия? Что определяет размеры искомой фигуры?

Методические рекомендации по методу подобия [10]. При разработке метода подобия целесообразно классифицировать решаемые задачи по способу задания размеров искомой фигуры:

1) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием некоторого отрезка;

2) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием суммы или разности некоторых ее отрезков;

3) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются положением ее относительно данных фигур.

Такая классификация удобна, главным образом, потому, что для каждой из трех групп задач способы выбора центра подобия различны.

В задачах из первой группы за центр подобия лучше всего выбирать один из концов отрезка вспомогательной фигуры, соответствующего данному отрезку, через который проходит наибольшее число прямолинейных отрезков искомой фигуры, так как при гомотетии лишь прямые, проходящие через центр подобия, преобразуются сами в себя. При таком выборе легко находить одну точку (второй конец данного отрезка) искомой фигуры, что в большинстве случаев значительно облегчает выполнение дальнейшего построения.

И для задач второй группы за центр подобия можно выбирать один из концов построенной суммы или разности отрезков, соответствующей данной. Целесообразно расчленить подобное преобразование: отдельно найти один из отрезков, сумма или разность которых дана, а затем выполнить построение искомой фигуры.

При решении задач третьей группы центр подобия уже определяется, и в большинстве случаев однозначно, расположением фигуры, подобной искомой, относительно данных фигур.

В Приложении 4 приведено решение задачи на метод подобия: “Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3”.

4.3 Алгебраический метод

Алгебраический метод решения задач на построении - один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.

Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.

Но, к сожалению, в школьном курсе геометрии алгебраическому методу практически не уделяется внимания, хотя с методической точки зрения изучение этого метода не представляет особых сложностей.

Суть метода состоит в следующем:

а) задача сводится к построению некоторого отрезка;

б) используя известные геометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные;

в) решая уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;

г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно);

д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.

Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.

В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими формулами [2]:

1) х = а + b (рис. 8).

2) х = а -- b(а > b) (рис. 9).

Рис. 8 Рис.9

3) х = nа, где n -- натуральное число. Сводится к построению 1). На рис. 10 построен отрезок х, такой, что х = 6а.

Рис. 10 Рис. 11

4) х = .

Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB = nb (см. рис. 11). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку В1, определяемую условием 0В1 = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A1, в которой она пересечет отрезок а.

5) х = а (n и m -- данные натуральные числа).

Разделим отрезок а на m равных частей и увеличим полученный отрезок в п раз.

6) х = (построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам).

Запишем условие в виде пропорции с : а = b : х. Пусть (рис. 12) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х.

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14

7) x = .

Можно воспользоваться построением 6), полагая b = а.

8) х = (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

Строим отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 13). В точке С восставим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD.

9) х = Отрезок x строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 14).

10) х = (a > b). Отрезок x строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b.

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.

Желательно постепенное изучение этих формул, когда каждая из них разбирается при рассмотрении теории, необходимой для осуществления соответствующего построения.

На этом месте целесообразно также введение простейших задач на алгебраический метод (например, задача о восстановлении отрезков по их сумме и разности) с тем, чтобы формулы рассматривались во взаимосвязи. В дальнейшем, перед серьезным изучением метода, формулы следует повторить.

В Приложении 4 приведена задача на алгебраический метод: “Из вершин данного треугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом”.

Вывод. Описанные методы рекомендуется использовать для решения геометрических задач на построение. При этом необходимо обращать внимание в том числе и на развитие инициативы учащихся, привитие им вкуса и навыков к решению конструктивных задач.

Было бы неправильно думать, что методы решения задач на построение могут служить основой для классификации самих задач. Существенным, а не случайным следует признавать то обстоятельство, что целый ряд задач на построение может одинаково успешно решаться различными методами. С другой стороны, существуют задачи, которые решаются просто комбинацией основных построений без явного применения какого-либо метода.

С методической точки зрения наиболее приемлемым является применение при обучении решению задач на построение следующего принципа. Необходимо осуществлять последовательный подбор задач в соответствии с целями курса геометрии и постепенное ознакомление учащихся с методами решения задач на построение.

В свою очередь, необходимо ознакомить учащихся с самими методами и научить определять, каким из них можно решить предложенную задачу. Для этого, прежде всего, учащихся необходимо научить выделять наиболее характерные признаки задач, решаемых тем или иным методом. Эти признаки определяются самим содержанием метода.

5. Опытное преподавание

Опытное преподавание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдение, диагностирующие контрольные работы, беседа и другие.

Одной из задач опытного преподавания являлась проверка эффективности разработанного факультативного курса по решению задач на построение, как предусмотренных школьной программой, так и не встречающихся в школьном курсе математики. Курс рассчитан на учащихся 8 классов.

Цели факультативного курса:

1. Сформировать у учащихся представление о методах ГМТ и подобия, используемых при решении задач на построение, и научить их применять.

2. Сформировать четкое представление об этапах решения задач на построение.

3. Способствовать развитию логического мышления учащихся.

4. Сформировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение задач.

5. Развить математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

Знания и умения, которыми должны владеть учащиеся перед изучением факультативного курса по теме “Задачи на построение и методы их решения”:

1. Владеть основными понятиями, относящимися к теме.

2. Уметь пользоваться чертежными инструментами.

3. Уметь выполнять основные геометрические построения.

4. Иметь представление об этапах решения задач на построения.

Этапы курса:

1. Разработка программы факультативных занятий “Задачи на построение и методы их решения” для учащихся 8 класса.

2. Проведение анкетирования среди учителей и учащихся.

3. Проведение психологических методик на определение уровня развития логического мышления №1.

4. Проведение диагностирующей контрольной работы №1.

5. Проведение разработанной программы факультативных занятий.

6. Проведение диагностирующей контрольной работы №2.

7. Проведение психологических методик на определение уровня развития логического мышления №2.

8. Анализ полученных результатов опытной работы.

Этап №1

Разработка программы факультативных занятий “Задачи на построение и методы их решения” для учащихся 8 класса.

Факультативные занятия были разработаны на основе анализа математической, методической и учебной литературы с использованием методических рекомендаций (см. §2, стр. 31; §3, стр. 39, стр. 45).

Этап №2

В ходе опытного преподавания было проведено анкетирование среди 6 учителей г. Кирова и г. Кирово-Чепецка. Проанализируем результаты полученных данных.

1. Какие трудности встречаются при изучении задач на построение?

Большинство учителей на этот вопрос ответили, что чаще всего учащиеся не видят с чего начинать строить (поэтапно), отсюда возникает еще одна проблема - на анализ уходит много времени.

2. Возвращаетесь ли Вы к задачам на построение при изучении других тем?

Учителя стараются на протяжении всего курса обучения возвращаться к задачам на построение. Но чаще всего учителя не видят в этом необходимости из-за нехватки времени.

3. Достаточно ли внимания уделяется задачам на построение в школьных учебниках?

Большинство учителей считают, что в школьных учебниках мало уделяется внимания задачам на построение.

4. Считаете ли вы нужным проводить курсы или факультативные занятия, направленные на решение задач на построение? Если да, то на сколько часов они должны быть рассчитаны и для каких классов?

Большинство учителей считают факультативные занятия и элективные курсы по данной теме необходимыми или по крайней мере желательными. Особенно это касается 8-9 классов. Оптимальное количество занятий составляет 17 часов.

5. На что необходимо обращать внимание (сделать упор) при обучении решению задач на построение?

Учителя считают, что в первую очередь необходимо обращать внимание на первый этап решения задач на построение - анализ, а также на исследование и, конечно, особенно в 7-8 классе нужно обращать внимание учащихся на построение чертежа с помощью чертежных инструментов.

Опытное преподавание осуществлялось в восьмых классах гимназии №2 г. Кирово-Чепецка. Первоначально среди учащихся было проведено анкетирование. Проанализируем результаты полученных данных.

1. Какие трудности вы испытываете при решении задач на построение

У большинства учащихся вызывает затруднение построение чертежа, нахождение пути решения задачи.

2. Какие этапы решения задач на построение вы используете?

Учащиеся не могут назвать конкретные этапы решения задач на построение. Чаще всего они описывают такой алгоритм: 1) построение рисунка; 2) запись условия (что дано в задаче, что нужно найти); 3) решение задачи; или же просто описывают как строить чертеж (построить угол, затем стороны и т.д.); некоторые учащиеся поставили прочерк в этом пункте.

3. Какие методы решения задач на построение вы знаете (отметить):

а) метод геометрических мест точек;

б) метод подобия;

в) метод осевой симметрии;

г) метод центральной симметрии;

д) метод поворота;

е) метод параллельного переноса;

ж) алгебраический метод.

В анкете учащихся указывали практически все представленные методы, что свидетельствует о том, что они не имеют четкого представления, четкой системы в данной области.

По результатам данного анкетирования можно сказать, что учащиеся плохо представляют как решать задачи на построение, не знают этапов, не имеют четкого представления о методах, решение подобных задач представляет для них трудность.

Этап №3

Были проведены психологические методики, которые выявляют уровень развития логического мышления учащихся (см. Приложение 5). В первую очередь нам необходимо выяснить как изменится уровень логического мышления учащихся, поэтому мы ограничимся лишь показателями количества правильных ответов по каждой методике. Затем данные результаты сравним с результатами, полученными после проведения факультативных занятий.

Получены следующие данные (по каждой методике указано количество правильных ответов):

Табл.1

	Образование простых аналогий (из 16)	Логичность (из 20)	Исключение понятий (из 17)
1.Балыбердина	8	11	13
2.Ворсин	15	15	17
3.Вострикова	15	16	14
4.Гаврилина	14	16	14
5.Двоеглазова	8	14	15
6.Егошин	16	15	15
7.Захаров	12	13	14
8.Ладыгина	16	18	16
9.Лысенко	16	15	15
10.Медянцев	12	15	15
11.Муралева	14	18	14
12.Садаков	16	15	15
13.Симонова	14	17	17
14.Солодянкина	3	11	16
15.Чупракова	16	17	17

Этап №4

Проведение диагностирующей контрольной работы №1.

На контрольной работе учащимся было предложено 3 задания, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено в Приложении 6.

Результаты диагностирующей контрольной работы №1 отображены в таблице 2.

Табл.2

№ задания	1	2	3
Кол-во человек, решивших задание	5	3	7
Доля человек, решивших задание в процентах	33%	20%	47%

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8