Практическое мышление | Теоретическое мышление | |
| -- совершается в ходе практической деятельности и направлено на решение практических задач;-- начинается с возникновения проблемной ситуации, которую нужно решить;-- протекает в условиях дефицита времени, опасности или высокой ответственности за принимаемое решение; -- направлено на преобразование реальной действительности | -- направлено на познание и объяснение явлений действительности;-- процесс мышления предполагает создание гипотезы, новой идеи или образа, а также проверку гипотезы на соответствие реальности | |
Интуитивное мышление | Логическое мышление | |
| -- при интуитивном мышлении переход к новому знанию происходит через озарение;-- процесс мышления неосознаваем и слит с самим действием;-- объектами мышления являются объекты -- оригиналы, с которыми взаимодействует человек; -- интуитивное мышление выполняет функцию получения нового знания | -- при логическом мышлении происходит плавный логический переход от данного к новому;-- процесс мышления осознан, отделен от своего продукта, а способы действия выделены и превращены в операции, применимые ко многим подобным объектам;-- объектами логического мышления выступают знаковые системы; -- логическое мышление выполняет функцию трансляции уже полученного знания другому |
Задача. Построить трапецию по четырем сторонам (рис. 2).
Решение. Проведя CK||BA, решение задачи сводим к построению треугольника KCD по трем сторонам: две равны боковым сторонам трапеции (АВ = КС), a KD = AD -- BC. Построим треугольник КCD, и, считая сторону AD построенной, дополним его до трапеции различными способами:
1) Проведем BC||AD и, отложив меньшее основание, соединим полученную точку В с А.
Доказательство сведется к установлению равенства: АВ = КС.
2) Если провести АВ||КС и BC||AD, то тогда уже надо доказать, что АВ = КС и ВС = АК.
Рис. 2
3) Если провести прямую CB||DA и на ней найти точки В и В1 отстоящие от А на расстоянии, равном боковой стороне, то в этом случае точка В1 будет посторонней и лишь точка В будет искомой, причем доказательство (ВС = АК) уже усложняется.
4) Если отыскивать точку В, как точку пересечения окружностей (А; АВ) и (С; СВ), то из двух точек В и В2 (рис. 2) только точка В будет искомой.
Третий и четвертый случаи подчеркивают необходимость доказательства. В анализе мы находим необходимые условия, которым должно подчиняться построение, чтобы получить искомую фигуру. Надо еще установить, что найденные необходимые условия являются и достаточными, то есть, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи [11].
Приложение 4Задачи к §4 “Методы решения задач на построение”4.1 Метод геометрических мест точекЗадача. Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А.Рис. 3Решение. Предположим, что треугольник АВС построен. Опустим из середины А1 стороны ВС перпендикуляры А1В' и А1С' на прямые АС и АВ соответственно. Ясно, что АА1 = ma, А1В' = hb/2 и А1С' = hс/2. Из этого вытекает следующее построение. Строим отрезок АА1 длиной ma. Затем строим прямоугольные треугольники АА1В' и АА1С' по известным катетам и гипотенузе так, чтобы они лежали по разные стороны от прямой АА1. Остается построить точки В и С на сторонах АС' и АВ' угла С'АВ' так, чтобы отрезок ВС делился точкой А1 пополам. Для этого отложим на луче АА1 отрезок AD = 2АА1, а затем проведем через точку D прямые, параллельные сторонам угла С'АВ'. Точки пересечения этих прямых со сторонами угла С'АВ' являются вершинами искомого треугольника (рис.3) [22]. 4.2 Метод геометрических преобразований4.2.5 Метод подобияЗадача. Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3.Рис. 4
Рис. 5
Решение. Задачу надо понимать так: даны угол hk и отрезок PQ (рис. 4). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой A = hk, BC = PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB1C1D1, у которой А = hk и AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3. Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ1 и отрезок AD1 = 3AB1 (рис. 5). После этого через точку В1, проводим прямую l, параллельную AD1 и строим окружность радиуса 2АВ1, с центром в точке D1,. Эта окружность пересекает прямую l в двух точках С1 и C1'.
Итак, мы построили две трапеции AB1C1Dl и АВ1С1'D1, у которых A = hk и стороны АВ1, ВС1 (В1С1') и C1Dl (С1'D1) относятся как 1:2:3.
Возьмем одну из этих трапеций, например, AB1C1Dl, проведем прямую АС1, и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В1АС1, который параллелен B1C1 и равен PQ. Это можно сделать так: на луче AD1 откладываем отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую, параллельную AB1. Она пересекается с прямой АС1 в точке С (рис. 6). Через точку С проводим прямую, параллельную B1C1, и получаем точку В. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку С прямую, параллельную C1Dl. Она пересекает луч AD1, в точке D. Трапеция ABCD искомая. В самом деле, А = hk, BC = PQ и (это следует из подобия треугольников ABC и AB1C1, ACD и AС1D1). Отсюда получаем, что AB:СD:AD = AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3.
Рис. 6
Построенная трапеция ABCD удовлетворяет всем условиям задачи. Если вместо трапеции AB1C1Dl взять трапецию АВ1С1'D1 и проделать такие же построения, то получим второе решение задачи (рис. 7). Итак, данная задача имеет два решения [4].
Рис. 7
4.3. Алгебраический метод
Пример. Из вершин данного треугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом.
Пусть ABC (рис. 8) -- данный треугольник, а, b, с -- его стороны, х, у и z -- радиусы искомых окружностей.
Рис. 8
Выразим длины отрезков х, у, z через длины известных отрезков а, b, с. Тогда х+у=с, y+z=a, z+x=b. Поэтому 2х+2у+2z = a+b+c, x+y+z=(a+b+c), откуда .
Строим теперь один из найденных отрезков, например х, по формуле и проводим окружность (A, х). Две другие окружности проводим из центров В и С радиусами соответственно с -- х и b -- х.
Для доказательства достаточно заметить теперь, что две последние окружности касаются между собой, так как сумма их радиусов (с -- х) + (b -- х) = с + b -- 2х = (с + b) -- (с + b -- а) = а = ВС, то есть равна расстоянию между их центрами.
Задача всегда однозначно разрешима, так как:
1) в треугольнике ABC b+c>a, и поэтому отрезок x может быть построен;
2) с>х, потому что с -- х = (так как а+с>b);
3) b>х, потому что b - х = >0 [2].
Приложение 5Психологические методикиМЕТОДИКА “ОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АНАЛОГИЙ” [9]
Под №1 слева написано два слова: сверху лошадь, внизу жеребенок. Какая между ними связь? Жеребенок - детеныш лошади. А справа под №1 тоже одно слово корова, а снизу 5 слов на выбор. Из них нужно выбрать только одно, которое будет так же относиться к слову корова, как жеребенок к лошади, т.е. чтобы оно обозначало детеныша коровы. Это будет теленок. Подчеркиваем слово теленок. Итак, нужно сначала установить, как связаны между собой слова, написанные слева, и затем установить такую же связь справа. Так же решаются все задачи.
1. Лошадь | Корова | |
Жеребенок 2. Школа | Пастбище, рога, молоко, теленок, бык Больница | |
Обучение 3. Яйцо | Доктор, ученик, учреждение, лечение, больной Картофель | |
Скорлупа 4. Ложка | Курица, огород, капуста, суп, шелуха Вилка | |
Каша 5. Коньки | Масло, нож, тарелка, мясо, посуда Лодка | |
Зима 6. Ухо | Лед, каток, весна, лето, река Зубы | |
Слышать 7. Собака | Видеть, лечить, рот, щетка, жевать Щука | |
Шерсть 8. Пробка | Овца, ловкость, рыба, удочки, чешуя Камень | |
Плавать 9. Чай | Пловец, тонуть, гранит, возить, каменщик Суп | |
Сахар 10. Дерево | Вода, тарелка, крупа, соль, ложка Рука | |
Сук 11 Дождь | Топор, перчатка, нога, палец, работа Мороз | |
Зонтик 12. Песня | Палка, холод, сани, зима, шуба Картина | |
Глухой 13. Нож | Хромой, слепой, художник, рисунок, больной Стол | |
Сталь 14. Рыба | Вилка, дерево, стул, пища, скатерть Муха | |
Сеть 15. Утро | Решето, комар комната, жужжать, паутина Зима | |
Ночь 16. Птица | Мороз, день, январь, осень, сани Человек | |
Гнездо | Люди, птенец, рабочий, зверь, дом |
КЛЮЧ К МЕТОДИКЕ “ОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АНАЛОГИИ”
1. Теленок 2. Лечение 3. Шелуха 4. Мясо 5. Лето 6. Жевать 7. Чешуя 8. Тонуть 9 Соль 10. Палец 11. Шуба 12. Слепой 13. Дерево 14. Паутина 15. Осень 16. Дом.
МЕТОДИКА “ЛОГИЧНОСТЬ” [9]
Вы получили бланк с 20-ю заданиями. Каждое из заданий представляет собой умозаключение, состоящее из 2-х взаимосвязанных суждений и вытекающего из них вывода. Требуется определить, какие выводы правильные, а какие ошибочные.
БЛАНК ЗАДАНИЙ К МЕТОДИКЕ “ЛОГИЧНОСТЬ”
Все металлы проводят электричество. Ртуть - металл. Следовательно, ртуть проводит электричество.
Все арабы смуглы. Ахмед смугл. Следовательно, Ахмед - араб.
Некоторые капиталистические страны - члены НАТО. Япония - капиталистическая страна. Следовательно, Япония - член НАТО.
Все Герои России награждаются Золотой звездой Героя. Иванов награжден Золотой звездой Героя. Следовательно, Иванов - Герой России.
Все сочинения Пушкина нельзя прочесть за одну ночь. “Медный всадник” - сочинение Пушкина. Следовательно, “Медный всадник” нельзя прочесть за одну ночь.
Лица, занимающиеся мошенничеством, привлекаются к уголовной ответственности. Л. мошенничеством не занимался. Следовательно, Л. не привлечен к уголовной ответственности.
Все студенты высшей школы изучают логику. Смирнова изучает логику. Следовательно, Смирнова - слушатель высшей школы.
Некоторые студенты МГУ - бывшие военнослужащие. Петров - студент МГУ. Следовательно, Петров - бывший военнослужащий.
Все хлебопекарни г. Кирова выполнили дневной план производства. Хлебопекарня ЧП Сидорова не является хлебопекарней г. Кирова. Следовательно, хлебопекарня ЧП Сидорова не выполнила дневной план производства.
Некоторые работники 2-го управления - юристы. Фомин - юрист. Следовательно, он работник 2-го управления.
Все граждане России имеют право на труд. Иванов - гражданин России. Следовательно, Иванов имеет право на труд.
Все металлы куются. Золото - металл. Следовательно, золото куется.
Все коренные жители Конго - негры. Мухаммед - негр. Следовательно, Мухаммед - житель Конго.
Все студенты Ленинградского университета изучают историю России. Н. Изучает историю России. Следовательно, Н. - студент Ленинградского университета.
Когда идет дождь, крыши домов мокрые. Крыши домов мокрые. Следовательно, идет дождь.
Некоторые капиталисты стремятся к развязыванию войны. Рассел - капиталист. Следовательно, Рассел стремится к развязыванию войны.
Все студенты 3-го курса написали курсовые работы по специальности. В. написал курсовую работу по специальности. Следовательно, В. - студент 3-го курса.
Комитет солдатских матерей выступает против войны. Джонс выступает против войны. Следовательно, Джонс входит в комитет солдатских матерей.
Некоторые капиталистические страны входят в состав Общего рынка. Австрия - капиталистическая страна. Следовательно, Австрия входит в состав Общего рынка.
Все ученики 3 “б” класса отличники. Петя Смирнов - отличник. Следовательно, Петя Смирнов - ученик 3 “б” класса.
КЛЮЧ К МЕТОДИКЕ “ЛОГИЧНОСТЬ”
Ответы “верно”: 1,11,12.
Ответы “неверно”: все остальные.
МЕТОДИКА “ИСКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ” [9]
Вы получили бланк, на котором написаны серии слов. Каждая серия состоит из пяти слов. Четыре из них являются в некоторой степени однородными понятиями и могут быть объединены по общему для них признаку, а одно слово не соответствует этим требованиям и должно быть исключено. Вы должны просмотреть каждую серию, найти слово, подлежащее исключению и выписать его на листочке под соответствующим номером. Например, даны пять слов: “кирпич, глина, известь, камень, дом”. Первые четыре слова можно объединить одном понятием “строительные материалы”, а последнее слово лишнее. Нужно записать “1.дом”. И так по порядку нужно решить все 17 серий.
БЛАНК ЗАДАНИЙ К МЕТОДИКЕ “ИСКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ”
1. дряхлый, старый, изношенный, маленький, ветхий
2. смелый, храбрый, отважный, злой, решительный
3. Василий, Федор, Семен, Иванов, Порфирий
3. молоко, сливки, сыр, сало, сметана
4. скоро, быстро, поспешно, постепенно, торопливо
5. глубокий, высокий, светлый, низкий, мелкий
6. лист, почка, кора, дерево, сук
7. дом, сарай, изба, хижина, здание
8. береза, сосна, дерево, дуб, ель
9. ненавидеть, презирать, негодовать, возмущаться, наказывать
10. темный, светлый, голубой, яркий, тусклый
11. гнездо, нора, курятник, берлога, сторожка
12. неудача, крах, провал, поражение, волнение
13. молоток, клещи, топор, гвоздь, долото
14. минута, секунда, час, вечер, сутки
15. грабеж, кража, землетрясение, поджог, нападение
16. успех, победа, удача, спокойствие, выигрыш.
КЛЮЧ К МЕТОДИКЕ “ИСКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ”
1. маленький | 2. злой | 3. Иванов | |
4. сало | 5. постепенно | 6. светлый | |
7. дерево | 8. сарай | 9. дерево | |
10. наказывать | 11. голубой | 12. сторожка | |
13. волнение | 14. гвоздь | 15. вечер | |
16. землетрясение | 17. спокойствие |
1. Организационный момент
Как вы уже поняли из анкеты, задачи на построение можно решать различными методами: методом геометрических мест точек, подобия, осевой симметрии, центральной симметрии, поворота, параллельного переноса, алгебраическим методом. Сегодня на уроке мы введем понятие ГМТ и рассмотрим в чем заключается метод ГМТ. Запишите тему урока: “ГМТ. Метод ГМТ”.
2. Актуализация знаний
Вы изучали геометрические построения на протяжении 7 и 8 классов. Вспомните, какие построения вы выполняли? Таким образом, вы знаете как выполнить построение:
1) отрезка, равного данному;
2) угла, равного данному;
3) биссектрисы угла;
4) перпендикулярных прямых;
5) середины отрезка;
6) треугольника по трем сторонам;
7) деление отрезка на n равных частей.
3. Изучение нового материала
Также вы строили серединный перпендикуляр к данному отрезку. Как вы это делали? (чертеж на доске)
Наверняка вы говорили о том, что на серединном перпендикуляре к данному отрезку находятся все точки, которые равноудалены от концов отрезка.
Говорят, что серединный перпендикуляр - это геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.
Геометрическим местом точек плоскости, обладающих данным свойством, называется множество всех точек плоскости, каждая из которых обладает этим свойством (запись определения в тетради).
Рассмотрим еще некоторые основные геометрические построения (раздаточный материал):
I. Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (окружность).
II. Геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой (пара параллельных прямых).
III. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (серединный перпендикуляр к отрезку)
IV. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных а) пересекающихся, б) параллельных прямых (пара перпендикулярных прямых в первом случае, прямая линия -- во втором).
Существуют также более сложные ГМТ, которые используются при решении задач (раздаточный материал):
1) Геометрическое место вершин С треугольников, имеющих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС равна данному отрезку.
2) Геометрическое место вершин С треугольников с общим основанием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию, равна данному отрезку.
3) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.
4) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности (внешним образом, внутренним образом).
5) Геометрическое место вершин треугольников с общим основанием, у которых высота, опущенная на это основание, равна данному отрезку.
6) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой.
7) Геометрическое место центров окружностей данного радиуса, отсекающих на данной прямой хорду данной длины.
8) Геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой.
9) Геометрическое место вершин равнобедренных треугольников с общим основанием.
10) Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
11) Геометрическое место центров окружностей, описанных около всех треугольников с общим основанием.
12) Геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом (внутренним образом) двух равных окружностей.
13) Геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных (пересекающихся, параллельных) прямых.
14) Геометрическое место вершин прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.
Теперь вспомните, как вы строили треугольник по трем сторонам (чертеж на доске).
Какие ГМТ здесь используются? Их пересечение дает нам третью вершину искомого треугольника. Оказывается, что при решении данной задачи вы использовали метод ГМТ.
Суть метода ГМТ заключается в следующем: сводят задачу к нахождению некоторой точки, которая определяется двумя условиями, вытекающими из требования задачи.
Допустим, геометрическим местом точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура F1, а геометрическим местом точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура F2. Тогда каждая точка пересечения этих двух геометрических мест удовлетворяет требованиям задачи. Например, построение треугольника по трем сторонам.
Таким образом, задача не будет иметь решений, если эти ГМТ не пересекаются. И будет иметь столько решений, сколько имеющихся точек пересечения указанных мест (показать на том же примере).
4. Решение задач
1) Построить треугольник по основанию, боковой стороне и медиане, проведенной к основанию (пересечение ГМТ №1 и №2).
2) Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности (пересечение ГМТ №9 и описанной окружности, центр которой - ГМТ №11).
3) Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки (пересечение ГМТ №3 и №3).
5. Подведение итогов
Итак, что вы узнали на сегодняшнем занятии? Сформулируйте понятие ГМТ. В чем заключается метод ГМТ? Какие существуют этапы решения задач на построение? Раскройте суть каждого из этапов.
Домашнее задание: 1) Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. 2) Постройте ромб так, чтобы две противолежащие его вершины были в двух данных точках А и В и третья на данной окружности О. 3) Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них - в данной точке.
Рекомендуемая литература: [11], [16], [18], [22].
Занятие №2
Тема: Применение метода ГМТ к решению задач на построение.
Цели: Научить применять метод ГМТ к решению задач на построение.
Краткое содержание: Повторение изученного материала, решение задач на построение, в которых используется более сложные геометрические места точек.
Рекомендуемая литература: [11], [16], [18], [22].
Занятие №3
Тема: Подобие. Метод подобия.
Цели: Повторить тему подобия фигур, сформировать понятие о методе подобия при решении задач на построение.
Краткое содержание: рассмотрение случаев, когда задача на построение решается методом подобия, суть метода подобия, решение задач, в которых размеры фигуры определяются заданием некоторого отрезка, различные случаи выбора центра подобия.
Рекомендуемая литература: [4], [11], [16].
Занятие №4
Тема: Применение метода подобия к решению задач на построение.
Цели: Научить применять метод подобия к решению задач на построение.
Краткое содержание: Повторение изученного материала, решение задач на построение, в которых размеры фигуры определяются заданием некоторого отрезка, суммы или разности отрезков.
Рекомендуемая литература: [4], [11], [16].
Занятие №5
Тема: Решение задач на построение методами ГМТ и подобия.
Цели: Научить видеть какой из методов следует применять к той или иной задаче.
Краткое содержание: Решение задач на применение различных методов: ГМТ и подобия.
Рекомендуемая литература: [4], [11], [16], [18], [20], [21], [22].
Занятие №6
Тема: Решение задач на построение методами ГМТ и подобия.
Цели: Научить применять методы ГМТ и подобия к решению более сложных задач на построение, научить видеть какой из методов следует применять к той или иной задаче.
Краткое содержание: Решение более сложных задач на построение на применение различных методов: ГМТ и подобия.
Рекомендуемая литература: [4], [11], [16], [18], [20], [21], [22].
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
