В 8-м классе учащиеся решают квадратные уравнения (в том числе неполные и приведенные уравнения), пользуясь приемом выделения квадрата двучлена, методом замены переменной, методом разложения на множители, теоремой Виета. Система задач по теме «Квадратные уравнения» включает разнообразные задачи: задачи на оперирование основными понятиями, задачи на составление уравнений, задачи на заполнение пропусков в уравнении и другие.
Примечательно, что в учебнике [37] находит отражение формула нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (1) и формула нахождения корней приведенного квадратного уравнения (2):
(1)
(2)
Далее учащиеся закрепляют навыки решения уравнений при решении различных систем уравнений и задач.
В курсе 9-ого класса учащиеся решают уравнения с модулем, целые, рациональные, иррациональные, дробные уравнения, уравнения с параметром, задачи на составление уравнений, системы уравнений с двумя переменными. Отметим, что в учебнике [38] для нахождения корня уравнения используется графическое исследование уравнений.
Таким образом, в учебном пособии [38] охвачен более широкий класс уравнений, чем в учебниках других авторов, а в главу «Повторение» включены все виды уравнений, изученных ранее, а также системы уравнений второй степени.
В учебниках [4], [5], [6] перед введением уравнений с одной переменной изучаются сначала выражения и их преобразования. Понятие уравнения с одной переменной вводится через сюжетную задачу в 7-м классе. Далее дано определение корня уравнения: «Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство» [[4], 23с.]; на примерах показано, что количество корней может быть разным. Так же вводится понятие «решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет» [[4], 24с.] и равносильные уравнения. Далее рассматриваются линейные уравнения с одной переменной.
Отметим, что система задач включает однотипные упражнения на решение уравнений, почти все они обязательного уровня. Однако, пункт «Дополнительные упражнения» содержит разнообразные задачи повышенного уровня, а, в общем, весь курс алгебры 7-ого класса пронизан уравнениями различной степени сложности.
Отметим также, что в учебнике [4] курс алгебры 7-ого класса начинается и заканчивается темой уравнения. В конце учебного года в главе «Системы линейных уравнений» вводится определение линейного уравнения с двумя переменными и его решения. Система задач в данной главе включает упражнения различной степени сложности на решение уравнений и их систем различными способами.
В пункт «Задачи повышенной трудности» включены параметрические уравнения, уравнения с модулем, целочисленные уравнения, а также задачи на составление систем уравнений и их решение.
В учебнике [5] в главе «Квадратные корни» изучаются уравнения вида , позднее вводится определение квадратного уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета. Система задач включает упражнения на решение квадратных, рациональных, дробно-рациональных и других видов уравнений различными методами, а также упражнения на решение задач с помощью системы уравнений. Отметим, что в учебнике [5] имеется глава «Дополнительные упражнения», в которую включен очень широкий класс задач различной степени сложности на решение уравнений.
В учебнике [6] уравнения изучаются в отдельной главе, в которую включены целые уравнения, биквадратные, иррациональные уравнения, системы уравнений с двумя переменными и системы уравнений второй степени, а также задачи на составление систем уравнений. Система задач, также как и в учебнике [5], включает упражнения различной степени сложности, в том числе, и задачи повышенной трудности.
В учебниках [13], [14], [15] заложено проблемное изложение материала, развивающее обучение и диалектический подход к введению математических понятий.
Понятие уравнение рассматривается в 7-м классе в качестве математической модели. Само решение уравнений, то есть нахождение корней, происходит посредствам применения формул сокращенного умножения, способа группировки, разложения на множители и прочее.
В учебнике [13] рассматривается линейное уравнение, причем, кроме определения понятия уравнения с одной переменной (аналогично определению, данному в учебниках [1], [2]), вводится определение понятия уравнения с двумя переменными и его решения, а также теорема о графике линейного уравнения. Итогом изучения уравнений в 7-м классе является рассмотрение темы «Графическое решение уравнений» и темы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными».
В учебнике [14] задачи на данную тему становятся сложнее: это решение рациональных и иррациональных уравнений, квадратных (полных, неполных, приведенных, неприведенных) и биквадратных уравнений, уравнений с параметрами и прочие, хотя методы решения уравнений аналогичны методам, данным в учебниках [36], [37], [38].
Отметим также, что данные, которые нужно запомнить, например, алгоритмы решения конкретного класса уравнений, выделены курсивом.
Система задач включает в себя разнообразные задачи - от примитивных задач до заданий повышенной трудности. Такое разнообразие заданий обеспечило наличие задачника к данному учебнику.
В курсе 9-ого класса учащиеся знакомятся с понятием рационального уравнения с двумя переменными и понятием решения такого уравнения, получают представление о равносильных преобразованиях. Исходя из этого, система задач содержит различные виды упражнений на решение рациональных уравнений с двумя неизвестными и их систем, а также упражнения на применение данных уравнений при решении текстовых задач.
Заметим, что в конце курса 9-ого класса учащиеся также решают простейшие тригонометрические уравнения.
В учебниках [9], [10], [39] определение понятия уравнения вводится на интуитивном уровне (через пример) в 6-м классе в главе рациональные числа. Определение понятия корня и решения уравнения аналогично определениям, данным другими авторами. Далее приведена примитивная система задач, где в основном присутствуют упражнения на решение по образцу и упражнения на составление уравнений при решении текстовых задач.
Далее, в учебнике [10] также на интуитивном уровне вводится определение понятия уравнения первой степени с одним неизвестным. Заметим, что в определении понятия решить уравнение не оговаривается тот факт, что корней может и не быть. Определение понятия линейного уравнения следующее: «Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно х или числа». Кроме того, автор выделяет еще одно свойство, необходимое при решении уравнений, - приведение подобных членов, которое в учебниках других авторов является методом решения линейных уравнений. Далее учащиеся решают простейшие линейные уравнения с одним неизвестным, текстовые задачи на составление уравнений, системы линейных уравнений с двумя неизвестными и задачи на составление данных систем. Заметим, что автор включает в систему задач по теме «Уравнения» однородные диофантовы уравнения и предлагает более простой способ решения систем уравнений - метод Гаусса.
В 8-м классе учащиеся приобретают навыки решения квадратных (неполных, общего вида, приведенных) и рациональных уравнений (биквадратных; «распадающихся»; уравнения, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая - нуль) и применяют полученные знания при решении задач. Помимо данных уравнений изучают комплексные уравнения, уравнения прямой и окружности. В конце курса 8-ого класса учащиеся решают системы рациональных уравнений первой и второй степени, причем, с тремя неизвестными, а также решают задачи, составляя системы уравнений. Отметим, что в качестве способа решения систем уравнений активно используется графический метод.
В курс 9-ого класса включены лишь упражнения на решение различных видов уравнений, никаких новых сведений о линии уравнений учащиеся не получают.
Таким образом, материал в учебниках [9], [10], [39] расположен так, что отдельные темы программы изучаются один раз и в полном объеме, чтобы потом к ним не возвращаться в теоретической части учебника. Дальнейшее закрепление и повторение, а иногда и развитие изученного ведется через линию упражнений. Изложение материала связное - подряд излагаются большие темы, нет мелких вопросов, нарушающих логику изложения тем. Основной методический принцип, положенный в основу изложения теоретического материала и организации системы упражнений, заключается в том, что ученик за один раз должен преодолевать не более одной трудности. Поэтому каждое новое понятие формируется, каждое новое умение отрабатывается сначала по отдельности, потом трудности совмещаются. Сложность заданий в каждом пункте нарастает линейно. Упражнения выстроены по нарастанию сложности и не перебиваются упражнениями на другие темы. Важную роль в формировании первоначальных представлений о зарождении и развитии науки играют исторические сведения, завершающие каждую главу учебника. Учебники [9], [10], [39] нацелены на повышенный уровень математической подготовки учащихся, но их можно использовать в классах с обычной программой по математике.
Анализ учебников для классов с углубленным изучением математики
Проанализируем учебники [7], [8], [16], [17], [11], [12], так как данные учебники предназначены для классов с углубленным изучением математики и в них описаны иные подходы к изучению материала и значительно расширено содержание.
В учебнике [7] содержатся 18 параграфов, охватывающих все основные темы общеобразовательного курса алгебры в 7-м классе, и ряд дополнительных вопросов. Учебник дает возможность достаточно обстоятельно рассмотреть теоретические вопросы и предложить учащимся широкий круг упражнений, различных по уровню сложности. Что касается конкретного материала по теме «Уравнения», то он достаточно объемный и содержит упражнения различной степени сложности. В данном курсе изучаются уравнение с одной переменной и его корни, равносильные уравнения, линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным, уравнения с модулем и задачи на составление уравнений.
Далее, после изучения глав «Разложение многочленов на множители» и «Формулы сокращенного умножения», продолжается изучение линии уравнений (несмотря на то, что упражнения на решение уравнений различной степени сложности в этих главах также присутствуют) в главе «Системы линейных уравнений». В данной главе для решения предлагаются упражнения на решение уравнений с двумя переменными в целых числах, на решение систем уравнений различными способами (в том числе системы уравнений с тремя переменными) и задачи на составление уравнений.
В учебнике [8] в отличие от учебника [7] тема «Уравнения» изложена в отдельной главе «Квадратные уравнения», которая изучается в конце курса 8-ого класса. В данной главе также как и в учебниках для классов общеобразовательных учреждений изложен теоретический материал о квадратных уравнениях и его корнях, о решении дробно-рациональных уравнений. Однако изложение достаточно обстоятельно и представлен большой набор разнообразных по тематике и уровню сложности упражнений (например, упражнения на решение параметрических уравнений, уравнений с модулем, на применение обратной теоремы Виета, упражнения на доказательство).
Отметим, что в тему «Квадратные уравнения» дополнительно включен вопрос о выражениях, симметрических относительно корней квадратного уравнения.
Учебник [16] отличается, прежде всего, более углубленным изучением соответствующих вопросов курса (изъяты слишком простые примеры и рассуждения, добавлены более сложные и интересные примеры). Материал по теме исследования написан в русле той концепции, которая использована в учебнике [14], с соблюдением практически того же порядка следования параграфов, но с естественным расширением материала. По оглавлению сразу можно выделить дополнительный материал: алгоритм извлечения квадратного корня, уравнения высших степеней, уравнения с модулями и параметрами. Система задач, также как в учебнике [8], разнообразна по содержанию и уровню сложности.
Учебник [17] является продолжением учебника [16] и написан на базе учебника [15]. Единственное отличие заключается во включении в курс дополнительного материала по теме исследования: задачи с параметрами, специальные методы решения систем уравнений (включая системы с тремя, четырьмя переменными), однородные, иррациональные, симметрические системы, системы с модулями. Соответственно и система задач значительно шире.
В учебник [11] включены упражнения на решение дробно-рациональных и кубических уравнений, неопределенных уравнений первой степени, используется метод разложения на множители, формулы сокращенного умножения, метод выделения полного квадрата, основное свойство пропорции, наибольший общий делитель коэффициентов и так далее. Система задач включает уравнения более высокого порядка, так как учащиеся при выполнении заданий могут пользоваться теоремой о делении многочлена на многочлен с остатком, теоремой Безу о корнях многочлена, теоремой о симметрических многочленах от двух переменных. Соответственно и система задач более сложная и трудоемкая. Несмотря на то, что уравнения различной степени сложности включены в каждую тему, рассматриваемую в данном учебнике, они находят свое отражение в отдельной главе «Квадратные уравнения. Системы нелинейных уравнений». В данной главе вводится определение понятия квадратного и приведенного уравнения, корней уравнения, формула нахождения корней через дискриминант и по теореме Виета (в том числе и для многочленов высших степеней). Отметим, что система задач включает упражнения на составление уравнений по известным корням и их кратности, упражнения на решение уравнений с параметрами, упражнения на доказательство, упражнения на нахождение суммы, произведения, разности корней уравнения, не решая данное уравнение, на определение знака корней, задачи на составление уравнений.
Отметим, что в курсе алгебры 8-ого класса учащиеся учатся решать возвратные и однородные уравнения, симметрические системы уравнений и системы уравнений с параметрами и модулем. Помимо методов, известных из курса алгебры общеобразовательной школы, учащиеся при решении уравнений часто прибегают к использованию графического метода решения уравнений.
В учебнике [12] в систему задач включены иррациональные, показательные уравнения, в том числе с модулем. Достаточно много упражнений на решение уравнений включено в главу «Элементы теории множеств», но также имеется глава, в которой находит свое отражение материал по теме «Уравнения» - «Уравнения, неравенства и их системы». Заметим, что в данной главе, на функциональном уровне даны общее определение уравнения с одной переменной и его корня, определение целого рационального уравнения и методы решения таких уравнений (разложение на множители, введение новой переменной и прочие), определение дробно-рационального уравнения, определение равносильных уравнений. Также как и в курсе алгебры общеобразовательной школы вводятся следствия из уравнений.
Система задач достаточно хорошо структурирована, содержит много упражнений на решение всех изученных видов уравнений различной степени сложности.
Данная глава является итоговой при изучении уравнений в курсе алгебры, так как включает в себя все виды уравнений, изученных не только в курсе 9-ого класса, но и уравнения, рассматриваемые ранее.
Таким образом, анализ программы и школьных учебников позволяет выделить 3 основных блока учебного материала по теме «Уравнения» - теоретический, практический и прикладной. Теоретический блок включает в себя: определение уравнения, корень уравнения, решение уравнения и системы и прочее. Практический блок состоит из умения решать линейные, квадратные, рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений различными методами. Прикладной блок составляют следующие задачи: решение неравенств и их систем, построение графиков, решение текстовых задач и прочее. Под прикладными умениями в контексте нашего исследования мы понимаем умение решать задачи, в которых уравнения выступают как средство решения.
§3. Методические рекомендации по осуществлению контроля при изучении линии уравнений в основной школе
На основе проведенного анализа содержания программы по математике, анализа изложения тем, связанных с изучением уравнений, в школьных учебниках по алгебре, можно сделать следующий вывод: для успешной проверки знаний, умений, навыков учащихся можно выделить три основных блока, подлежащих контролю, - теоретический, практический, прикладной. В соответствии с выделенными в предыдущем параграфе блоками учебного материала по теме «Уравнения», а также рассмотренными в первой главе основными формами контроля дадим некоторые методические рекомендации по осуществлению проверки знаний, умений и навыков учащихся при изучении уравнений в основной школе.
Теоретический блок
Проверять следует те знания, которые являются ведущими в данном курсе или относительно трудно усваиваются учащимися, или, которые необходимы для успешного усвоения дальнейших разделов и тем курса. На контроль теоретических знаний оказывает влияние вид проверки: для уточнения содержания материала при текущей проверке необходим анализ связей изучаемого материала с ранее пройденным, а для тематической и итоговой проверки - выделение ведущих знаний и способов оперирования ими. Как известно, практики без теории не бывает.
Теоретические знания могут быть проверены при помощи теста на заполнение пропусков в истинном утверждении (глава I §6 с. 29). Приведем пример такого теста проверки теоретического материала по теме «Квадратные уравнения» по учебнику [5], при которой проверяются следующие знания: определение квадратного уравнения и его корня, неполного квадратного уравнения, дискриминант и количество корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта, теорема Виета (Приложение 2).
Тесты могут состоять из комбинации заданий с выбором ответа, на заполнение пропусков и установление соответствия. Приведем пример таких тестов (Приложение 3).
Тест №1 является диагностирующим, направлен на предупреждение неуспеваемости, связанной с наличием пробелов, препятствующих успешному усвоению новой информации. Перед изучением темы «Системы уравнений» учитель должен быть уверен, что его ученики владеют базовыми знаниями, например, по теме «Квадратные уравнения».
Тест №2 проводится, как правило, после изучения нового материала, но перед решением основных, типовых задач на применение полученных знаний. Основной целью этого тестирования является закрепление и проверка навыков составления и решения системы уравнений по условию задач различной ситуации; выявление пробелов в знаниях по теме «Системы уравнений». В качестве примера рассмотрим тест №2 (Приложение 3) по учебнику [15], контролирующий степень усвоения темы «Системы уравнений» [18].
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
