Ученики: Показательные уравнения.
Учитель: Попробуйте дать определение показательным уравнениям. (Замечание: предварительно с учениками можно вспомнить определение иррациональных уравнений, а далее по аналогии дать определение показательным уравнениям).
Ученики: Показательные уравнения - это уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Учитель: Запишите с доски в тетрадь только показательные уравнения. Я подчеркну показательные уравнения.
Далее учащимся предлагается некоторая порция теоретического материала.
Рассмотрим уравнения, следующего вида:
, , , .
Уравнения такого вида называются простейшими показательными уравнениями. Запишите это в тетрадь. Такие уравнения решаются с помощью свойства степени:
Степени с одинаковым основанием, а>0, а1 равны только тогда, когда равны их показатели.
Посмотрите на выписанные вами показательные уравнения. Какие из них являются простейшими уравнениями.
Ученики: Уравнение (3) 6 х = 36.
Учитель: Верно. Давайте его решим.
Учитель записывает решение уравнения на доске, ученики в тетради.
Учитель: Посмотрите на остальные показательные уравнения. Являются ли они простейшими?
Ученики: Нет.
Учитель: Как же мы будем их решать?
Итак, у нас возникла проблема: Как решать остальные показательные уравнения, которые не являются простейшими показательными уравнениями. Ваши предложения.
Возникает предположение (гипотеза): не простейшие показательные уравнения можно путем преобразований привести к уравнению вида , которое уже является простейшим, и которое мы умеем решать (формулируется учащимися, или учителем и учащимися, при затруднении последних).
(Замечание: эта гипотеза может возникнуть в результате решения уравнения ).
Далее, решаются все оставшиеся уравнения с использованием гипотезы, что и является в некотором роде ее практическим доказательством.
Закончить решение уравнений с доски можно общим выводом: решение любого показательного уравнения сводится к решению простейшего показательного уравнения.
4этап. Предлагается решить уравнение: №210 (6).
Далее предлагается решить уравнение №211(2) самостоятельно, предварительно побеседовав с учащимися о способе решения. Через пять минут учитель просит одного из учащихся сказать получившийся у него ответ, другие учащиеся проверяют правильность своего ответа.
5этап. Итоги подводятся серией вопросов: Какие мы сегодня уравнения учились решать? Какие виды уравнений еще вы знаете? Какая основная идея используется при решении любого показательного уравнения?
6этап. Запишите домашнее задание: §12, №209(1,2), №210(3), 211(1,4). Учитель комментирует домашнее задание.
7этап. Учитель: Подумайте, все ли вы сегодня поняли на уроке и почему? Если что-то было не понятно, то почему? Все ли вы усилия приложили, чтобы понять новый материал?
На данные вопросы можно побеседовать с учащимися.
Приложение № 4.Урок по теме «Показательные уравнения».Технология группового обученияПредмет «Алгебра и начала анализа».Цели:
образовательные:
1. формирование навыков решения показательных уравнений;
2. формирование умения решения нестандартных показательных уравнений.
развивающие:
1. развитие мышления учащихся, развитие математической речи;
2. развитие коммуникативных умений и интеллектуальных способностей посредством взаимодействия в процессе выполнения группового задания для самостоятельной работы.
воспитательные:
1. воспитание способностей к нравственному общению среди учащихся, к сотрудничеству (среди учащихся одной группы и различных групп);
2. воспитание ответственности, организованности.
Тип урока: урок закрепления изучаемого материала.
Оборудование: учебник М. А. Алимова «Алгебра и начала анализа 10-11», карточки с дидактической игрой «Конь», карточки с заданиями для групп.
Методы: репродуктивный, частично-поисковый.
Формы познавательной деятельности учащихся: групповая, индивидуальная.
Структура урока:
1этап. Организационный этап.
2этап. Актуализация опорных знаний и их коррекция.
3этап. Закрепление изученного материала.
4этап. Коррекция.
5этап. Подведения итогов урока.
6этап. Информация о домашнем задании.
7этап. Рефлексия.
Ход урока:
1этап. Здравствуйте, садитесь.
2этап. На сегодняшнем уроке мы продолжим учиться решать показательные уравнения. Целью нашего сегодняшнего урока и будет закрепление умения решения показательных уравнений. На уроке вы будете работать в группах. Каждая группа получит сегодня оценку, которая будет выставлена в журнал каждому участнику группы.
Объединитесь, пожалуйста, в четверки - 1 и 2 парты, 3 и 4 парты на каждом ряду. Каждой группе предстоит получить две оценки. Затем найдется средняя оценка каждой группы.
Первую оценку вы получите по результатам игры - разминки «Конь».
Оглашается последовательность игровых действий игры: 1) получить карточку; 2) прослушать правила игры; 3) при нахождении требуемого в игре всем участникам группы поднять руки.
Учитель демонстрирует карточку и оглашает правила игры:
Вашей группе необходимо провести воображаемого «коня» от линии старта к линии финиша. Ход можно начинать с любого места на старте. «Конь» двигается так, как на шахматной доске. Но нужно соблюдать одно условие: число, которое является решением показательного уравнения в клетке старта или там, где стоит «конь», сложенное с числом, которое является решением показательного уравнения в клетке, где «конь» делает поворот, должно дать число, которое является решением уравнения куда прыгает «конь». Некоторые клетки могут оказаться «фальстартом». Всего в данной игре существует два возможных пути. Если ваша группа за 8 минут первая найдет оба пути, то группа получит 5 баллов. Если Вы найдете оба пути за 8 минут, но не первые, группа получит 4 балла. Если Вы найдете один путь за 8 минут, группа получит 3 балла. Если Вы не найдете ни одного пути за 8 минут, то ваша группа получит два балла. Совет: для более быстрого поиска путей разбейте стартовые клетки между участниками группы.
Если вы найдете путь, запишите его следующим образом: А1>В3 >…
Все группы получают одинаковые карточки (карточки выдаются каждому учащемуся в группе).
На игру дается 8 минут (см. на стр. 68 карточку для игры «Конь»).
После проведения игры и выставления баллов за работу группам, группа первая нашедшая пути выписывает их на доске.
3этап. Следующая оцениваемая работа групп - это «Решение показательных уравнений». Группам выдаются карточки с заданием. Все условия и требования работы описаны на карточках (см. на стр. 62 карточку с групповыми заданиями).
4этап. На этом этапе группы отчитываются по групповому заданию «Решение показательных уравнений». Выставляются оценки группам по данному заданию и итоговые оценки.
5этап. Учитель подводит итоги по работе групп и итоги урока.
6этап. Запишите домашнее задание: §12, №220 (3), №223 (1), 225(1).
7этап. Можно предложить учащимся ответить в рабочей тетради на следующие вопросы: Как ты считаешь, хорошо ли работала ваша группа? Было ли давление со стороны в группе? Доволен ли ты своей работой на уроке?
Карточка для дидактической игры «Конь».
F | финиш | |||||
E | ||||||
D | ||||||
C | ||||||
B | ||||||
A | старт | |||||
1 | 2 | 3 | 4 | |||
Возможные пути проведения «коня»: А1> С2> Е1> F3,
А3 > С4 > Е3 > F1.
Карточка по групповому заданию «Решение показательных уравнений»
1) Распределите уравнения между собой в группе.
2) Решите выбранное уравнение в тетради, постарайтесь полностью обосновать решение.
3) Расскажите остальным представителям группы решение вашего показательного уравнения. Если вы не до конца знаете, решение вашего уравнения, решите уравнение коллективно. Обсудите правильность решения каждого уравнения.
4) Подготовьтесь к отчету группы: из группы вызывается человек для описания способа решения уравнения, которое он решал.
5) Слушая отчет групп, запишите в тетрадь решение остальных показательных уравнений, исправляйте ошибки при отчете групп.
Вся группа за данное задание получит ту оценку, которую получит представитель группы, выполняющий отчет.
На всю работу вам дается 15 минут.
Показательные уравнения:
(1)
(2)
(3)
(4)
Приложение № 5.Урок по теме «Показательные неравенства».Технология модульного обученияПредмет «Алгебра и начала анализа».Цели:
образовательные:
1. формирование понятия показательного неравенства;
2. формирование умения решения показательных неравенств.
развивающие:
1. развитие мышления учащихся;
2. развитие познавательного интереса, любознательности;
3. развитие умений учебно-познавательной деятельности;
4. развитие волевой сферы личности.
воспитательные:
1. воспитание настойчивости, организованности, ответственности;
2. осуществление трудового воспитания учащихся.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Продолжительность занятия - два урока.
Оборудование: модуль «Показательные неравенства», самостоятельная работа к модулю.
Методы: продуктивный, частично-поисковый.
Формы познавательной деятельности учащихся: индивидуальная, групповая.
Структура урока:
1этап. Организационный этап.
2этап. Изучение новых знаний и способов деятельности.
3этап. Информация о домашнем задании.
4этап. Подведения итогов урока.
Ход урока:1этап. Учащимся сообщается, что сегодня они будут самостоятельно изучать тему «Показательные неравенства» по предложенным им программам. При возникновение вопросов учащиеся могут обращаться за помощью к учителю. На изучение данной темы отводится урок и пятнадцать минут следующего урока. В конце второго урока необходимо будет написать самостоятельную работу по изучаемой теме, рассчитанную на двадцать минут.2этап. Учащимся выдается модуль «Показательные неравенства» (см. ниже), по которому они начинают работать. На втором уроке (за двадцать пять минут до звонка) учащимся выдается самостоятельная работа. 3этап. Домашнее задание: §13, задача 5(разобрать), №299 (2,3), № 231(4), решить неравенство .4этап. Итоги подводятся серией вопросов: Какие вы сегодня неравенства учились решать? Какие есть способы обоснования решений показательных неравенств? Трудно ли было изучать тему самостоятельно?Модуль по теме «Показательные неравенства»«Тот, кто учится самостоятельно, преуспевает в семь раз больше, чем тот, которому все объяснили».(Артур Гитерман, немецкий поэт)Тема: Показательные неравенства.Цели: 1. Узнать, что такое показательные неравенства. 2. Изучить основные методы решения показательных неравенств. 3. Научиться решать показательные неравенства.Учебный элемент № 1.Запишите тему в тетрадь.Вспомните, что такое показательные уравнения. Напишите в тетрадь по аналогии, что такое показательные неравенства.Прочитайте теорию (см. ниже). Занесите в тетрадь ту информацию, которую считаете нужной.Теория.Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b - некоторое рациональное число.Если , то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству . Если , то показательная функция монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству .Рассмотрите приведенные ниже примеры решения показательных неравенств вида .Пример1. Решим неравенство .Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .Пример 2. Решим неравенство .Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .Решите неравенства: Дайте полное обоснование решения неравенств (см. примеры). Проконтролируйте правильность решения неравенств, сверив полученные ответы с ответами соседа по парте. Учебный элемент № 2.Прочитайте теорию (см. ниже). Занесите в тетрадь ту информацию, которую считаете нужной.Теория. Рассмотрим решение показательных неравенств вида Где и некоторые функции зависящие от . Частным случаем неравенств вида являются неравенства вида , где - некоторое действительное число. Для решения неравенств рассмотренных видов используется свойство возрастания или убывания показательной функции.Решим неравенство (*).Рассмотрим показательную функцию. И рассмотрим значения показательной функции при t1=f(x) и при t2=g(x). Перепишем данное неравенство (*) в виде (**).Если , то функция возрастает. Тогда неравенство (**) равносильно неравенству . А данное неравенство (*) неравенству . Если , то функция убывает. Тогда неравенство (**) равносильно неравенству . А данное неравенство (*) неравенству .Рассмотрите приведенные ниже примеры решения показательных неравенств вида .Пример 1. Решите неравенство Запишем неравенство в виде . Показательная функция возрастает . Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Откуда . Решив квадратное неравенство, получим . Ответ: .Пример 2. Решите неравенство Запишем неравенство в виде . Показательная функция возрастает . Поэтому данное неравенство равносильно неравенству , откуда . Решив квадратное неравенство, получим или . Ответ: . Решите неравенства. Дайте полное обоснование решения неравенств (см. примеры).Проконтролируйте верность своего решения у соседа по парте.Учебный элемент №3.Решение некоторых показательных неравенств сводится к решению квадратных неравенств. Рассмотрите пример такого показательного неравенства.Пример. Решим неравенство Пусть , тогда получим квадратное неравенство . Так как , то получим, что совокупность Первое неравенство не имеет решений, так как при всех . Второе неравенство можно записать в виде , откуда . Ответ:.Решите неравенство . Проконтролируйте правильность решения самостоятельно.Выполните самостоятельную работу в тетраде. Не забывайте обосновывать свои решения.Самостоятельная работа.Вариант №1.Вариант №2.Оцените свою работу на уроке по 10 бальной шкале (поставьте свою точку на шкале). Приложение № 6.Итоговый контроль. Самостоятельная работа на тему «Показательные уравнения и неравенства».
В - 1.
1. Каждому уравнению и неравенству сопоставьте решение:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Решения: 1) , 2) -1, 3) , 4) , 5)уравнение решений не имеет,
6) , 7) , 8) , 9) неравенство решений не имеет, 10) 0, 11) 2,
12) , 13) 3, 14) , 15) 4, 16) , 17) .
2. 1) Продолжите: Показательным уравнением называется уравнение…,
2) Какое свойство показательной функции используется при решении неравенств? Сформулируйте его.
3. График функции расположен ниже графика функции при . Объясните почему.
4. Решите неравенство (решение полностью обоснуйте)
5. Докажите, что из неравенства следует неравенство .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
