Порівняння - це розумова дія, з допомогою якої у предметах виділяють окремі ознаки, знаходять загальні та відмінні їх властивості. Порівняння починається із співвіднесення або співставлення предметів і явищ, тобто із синтезу. К.Д. Ушинський вказував, що порівняння - основа всякого розуміння і мислення, а значить і всієї аналітико-синтетичної діяльності.
Узагальнення розкриває природу мислення та його склад. Воно використовується в різних видах навчально-пізнавальної діяльності при вивченні математики: при формуванні понять, виведенні певних властивостей арифметичних дій, розв'язуванні задач.
Уява (творча фантазія). Не менш важливою є уява (творча фантазія). Уява - це психічний процес, який є надзвичайно важливим для розвитку творчості, творчого мислення.
Творча уява вимальовує нові, оригінальні образи та ідеї. Саме вона доповнює творче мислення і взаємодіючи з ним, становить основу людської творчості.
Уява і фантазія розвиваються в нормі за звичайними законами розвитку вищих психічних функцій - від мимовільної уяви до довільної, від репродуктивної до творчої. Не виникає сумніву, що розвиткові творчої уяви сприяють казки, художня література, хороші фантастичні твори. Однак існують і безпосередні прийоми, вправи, виконання яких тренує уяву.
Уява і фантазія дуже важливі при розв'язуваннях задач, оскільки розв'язуючи задачу на рух, дитина вже раніше бачила, як рухається автомобіль чи велосипедист, але не кожен учень бачив як їде катер чи злітає вертоліт. Та все це він може собі уявити.
Здібності. Кожна людина від народження має якісь вроджені здібності до певного виду діяльності; поза діяльністю цю властивість людини не можна розпізнати, описати і охарактеризувати. Здібною до певної галузі діяльності (технічної, наукової, математичної) називаємо ту людину, яка легко освоює цю діяльність, швидко оволодіває необхідними для неї знаннями, вміннями і навичками, успішно справляється з вимогами, які їй поставлені.
Кожна здібність людини є складовою її властивістю. Являючи собою внутрішню можливість людини справитися з тими вимогами, що їх ставить певна діяльність, вона спирається на ряд інших її властивостей. До них треба віднести її життєвий досвід, надбані нею знання, вміння і навички. Але і при однакових приблизно знаннях, вміннях і навичках люди бувають неоднаковими щодо їх здібностей. Здібності є лише можливістю до набуття знань, умінь та навичок. А будуть чи не будуть здобуті ці знання та вміння залежить від таких умов:
ъ чи буде оточуюче середовище зацікавлене в тому, щоб дана особа володіла цими уміннями та знаннями;
ъ як особу будуть навчати, як буде організована трудова діяльність, в якій ці уміння і навички будуть закріплюватися.
Здібності - це індивідуально - психологічні особливості особистості, що являються умовами успішного виконання даної діяльності і виявляють відмінності в динаміці оволодіння необхідними для неї знаннями, уміннями та навиками.
Здібності до математики, як і всі здібності - продукт розвитку. Вони формуються і розвиваються у процесі навчання математики.
Математичні здібності - складне структурне психологічне утворення, своєрідний синтез властивостей, індивідуальна якість розуму, яка поєднує різноманітні його сторони і розвинута в процесі математичної діяльності. Вказана сукупність являє собою єдине ціле.
Задатки - обумовлені спадковими генами можливості розвитку анатомо-фізіологічних і деяких психічних властивостей, дійсний розвиток яких залежить від їх взаємодії з середовищем. Але слід пам'ятати, що задатки не виявляють у собі здібностей і не гарантують їх розвиток. Задатки - це тільки одна з умов формування здібностей.
Здібності дітей до певного виду діяльності вивчаються саме в цій діяльності. Математична діяльність учнів у процесі шкільного навчання є розв'язування різного роду задач. Щоб діяльність позитивно вплинула на розвиток здібностей, то вона повинна викликати у дитини сильні і стійкі позитивні емоції, задоволення, прагнення займатися нею; діяльність дитини повинна бути по можливості творчою, а не репродуктивною.
Найбільш природній шлях встановлення рівня здібностей - це порівняння тих, хто успішно, творчо виконує певну діяльність з тими, хто не успішно виконує цю діяльність. Основною діяльністю учнів є навчання. Отже, рівні здібностей учнів виявляються в успішності засвоєння знань, оволодіння вміннями і навичками.
У кожному класі можна умовно виділити три групи учнів - здібні до математики, середні і нездібні до математики учні. Виділяють ще такі-математично обдаровані, учні з підвищеними математичними здібностями, з нормальними віковими математичними здібностями, зі зниженими математичними здібностями і відстаючі.
1.3 Стан досліджуваної проблеми у теорії і практиці навчання математики
На сучасному етапі розбудови шкільної математичної освіти розв'язування задач у навчанні математики переслідує такі цілі: формування в учнів загального підходу, загальних умінь і здібностей розв'язання будь-яких задач; пізнання і більш глибоке оволодіння математичними поняттями, що визначаються, і деякими загальнонауковими поняттями; оволодіння поняттями моделі й моделювання і власне математичним моделюванням; розвиток мислення, кмітливості учнів, їх творчого потенціалу. Дослідженню цієї проблеми присвячені роботи М. Бантової, М.Богдановича, Г. Бевза, М. Бурди, Н. Істоміної, Ю. Колягіна, Є. Лященко, В. Мішина, С. Скворцової, Г. Саранцева, Т.Хмари та інших. Усі вчені що розробляли проблему навчання розв'язування сюжетних задач, одностайні в тому, що кінцевою метою такого навчання має бути формування в учнів загального вміння розв'язувати задачі. Між тим у методичній літературі не запропоновано відповідної цілісної методики. Є лише окремі поради щодо навчання учнів прийомів розв'язання задач.
Вчені, які працювали і працюють в даному напрямку, кажуть, що методика формування загального вміння розв'язувати задачі реалізується на матеріалі простих і складених задач, задач, що містять пропорційні величини, на знаходження суми або різниці чи кратне порівняння двох добутків або часток.
Теоретичною основою створення методики формування в молодших школярів загального вміння розв'язувати задачі є вимоги до процесу формування розумових дій, які забезпечують високу ефективність навчання навичок і вмінь, що сформульовані Л. Фрідманом, а також теорія поетапного формування розумових дій і понять П. Гальперіна, яка відповідає цим вимогам. “Формування загального вміння розв'язувати задачі базується на визначеному нами операційному складі загального вміння розв'язувати задачі та відбувається за етапами, які є загальноприйнятими у методичній науці ” - каже С. Скворцова. До етапів належать такі: 1 етап - підготовча робота до введення поняття “задача” (“складена задача”); 2 етап - ознайомлення з поняттям “задача” (“складена задача”), його структурними елементами та етапами її розв'язання; 3 етап - формування загального вміння розв'язувати будь-які прості (складені) задачі.
“З метою попередження шаблонного й тому неадекватного підходу учнів до розв'язування окремих видів простих задач ми розширили коло питань підготовчого етапу: крім формування конкретного змісту арифметичних дій додавання і віднімання, ми пропонуємо дітям засвоїти конкретний зміст відношення різницевого порівняння та збільшення або зменшення числа на кілька одиниць, на різницеве порівняння, на знаходження невідомого доданка. Саме робота з п'ятьма видами простих задач ставить учнів в умови свідомого вибору арифметичної дії і виключає заучування способу розв'язання задач окремих видів. Необхідність вибору арифметичної дії визначає здійснення аналізу тексту задачі: виділення умови й запитання, числових даних і шуканого, зв'язків між ними, слів - ознак, на які слід спиратися при складанні схематичного рисунка (а пізніше для вибору виду математичного співвідношення) і вибору арифметичної дії для розв'язання задачі.” - коментує С. Скворцова.
При формуванні умінь розв'язувати складені задачі пропонують учням складені задачі різноманітних математичних структур і робота над задачею здійснюється за пам'яткою №3.
Вчитель загальноосвітньої школи №7 м. Бровари, Київської області, Бєлаш Ірина Василівна вважає, що “математика в курсі школи займає одне з головних місць серед інших предметів. Задачам в навчанні математики відведено особливу роль. З одного боку, вони становлять специфічний розділ програми, матеріали якого учні мають засвоїти, а з другого - виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів. Учні допускають чимало помилок при розв'язуванні текстових задач. Це зумовлюється тим, що не всі школярі мають чітке уявлення про структуру і механізм розв'язування задачі. Найбільшим недоліком є те, що діти не вміють їх аналізувати, уявляти відповідну життєву ситуацію, не бачать і не розуміють вказаних у задачі зв'язків між даними і шуканими, не мають навичок самоконтролю ”.
Ірина Василівна вважає, що на уроці не слід “гнатися” за кількістю розв'язаних задач. Головне, щоб кожне завдання було глибоко усвідомлене учнями. Тільки тоді діти навчаться розв'язувати будь - яку задачу.
За її словами кожна нова задача не повинна виникати з нічого. Вона має спиратися на набуті вже знання і на повсякденний досвід, відповідати природній допитливості дитини.
Ось декілька прийомів, які використовує Ірина Василівна на своїх уроках:
Повторне розв'язання задач. Цей прийом відіграє певну роль під час формування і закріплення вмінь розв'язувати задачі.
Заміна запитання. Вимога щодо запитання до задачі здебільшого подається у двох формах: питальній (Скільки залишилося?... Скільки стало?... Яка довжина?... Чому дорівнює?...) та ініціативній (Знайти…, обчислити…, визначити…).
В підручниках з математики більшість задач містить слово “скільки”. Тому в учнів виникає неправильне уявлення про запитання. Потрібно показувати учням - каже Ірина Василівна, - різні формулювання тієї самої вимоги. Для цього варто час від часу перебудовувати запитання. Наприклад, замість “Скільки витратили всього тканини?” можна сказати:
- Чому дорівнює загальна витрата тканини?
- Яка загальна витрата тканини?
- Знайти загальну витрату тканини.
- Обчислити загальну витрату тканини.
Цю роботу, за словами вчительки потрібно розпочинати з 1 класу. “Спочатку запитання без слова “скільки” пропоную я, а учні формулюють його, вводячи це слово. Згодом даю завдання: “Скажіть цю вимогу іншими словами”, або - “Сформулюйте запитання, не змінюючи умову і розв'язання.”
Тетяна Дорофєєва, вчитель початкових класів школи №6, м. Каховка, Херсонської області, має свою точку зору на питання - як навчити школярів
розв'язувати задачі. Ось що вона радить:
“ Насамперед слід навчити дитину складати короткий запис задачі, бо саме він допомагає відокремити шукане число від даних, встановити залежність між ними, правильно пояснити кожну дію, знайти правильний хід розв'язання. Форма короткого запису задачі залежить від умови, отже, учні повинні вміти вибирати опорні слова, орієнтуючись на головне слово в запитанні.
Так, у задачах на знаходження остачі діти, прочитавши запитання, швидко знаходять опорне слово залишилося. Спочатку можна практично показати, що це означає. Час від часу, слід пропонувати й такі умови, де є слово “залишилося”, але задачу треба розв'язувати не відніманням, а додаванням. Так діти вчаться брати до уваги не тільки окремі слова, а весь зміст задачі.” Ось, наприклад, такі задачі:
Задача 1. У Гната було 7 чистих зошитів. Три зошити він списав. Скільки чистих зошитів залишилося у Гната?
Задача 2. З минулого року в Олі залишилося 7 зошитів у клітинку і 3 зошити у лінійку. Скільки всього зошитів залишилося в Олі?
Відшукавши в запитанні другої задачі слово “залишилося”, учні міркують і доходять висновку, що це слово не є головним, бо з величинами нічого не траплялося, вони як і були, так і залишилися. І знаходять інше головне слово - “всього”. Отже, і опорні слова в цій задачі інші: зошити в лінійку і в клітинку.
“Щоб пояснити дію, учні мають знайти у короткому записі знак питання або два числа. Ця дія виконана, і провівши пальчиком вліво, прочитати слово. Якщо короткий запис зроблений у вигляді таблиці - відповідно вгору - вбік.
Щоб виділити у складеній задачі просту, числа, з'єднані в умові словами і, а (в значенні і), краще записувати поруч біля головного слова і негайно об'єднувати їх в одне число. Біля слова має стояти одне число. Якщо їх два - величина в задачі не відома, її треба знайти негайно.
Щоб навчити дітей складати числовий вираз до розв'язаної задачі, варто запропонувати їм такий алгоритм.
1. Знайдіть останню дію в задачі (підкресліть).
2. Подивіться на перше число останньої дії. Чи було воно в умові відоме? Так? Запишіть його.
3. Ні? Подивіться, як його одержали. Перепишіть той вираз (приклад), але без відповіді.
4. Перепишіть дію.
5. Аналогічно міркуйте над другим числом останньої дії.”
Отже, аналіз короткого запису показує відношення величин і допомагає у виборі дії.
Розділ 2. Методика навчання молодших школярів розв'язуванню складених задач
2.1 Методичні підходи до опрацювання складених задач
Згідно з чинним законодавством в учнів початкової школи на уроках математики мають формуватися уміння розв'язувати прості і складені задачі різних видів. Шкільна практика свідчить про те, що найбільші труднощі викликають у дітей складені задачі.
У першому класі діти ознайомлюються з поняттям “задача”, вчаться розв'язувати прості задачі; у другому класі вводять нові задачі, які розв'язуються двома діями - це перші складені задачі. До цього, розв'язуючи задачу, учні одразу відповідали на її запитання, виконавши лише одну арифметичну дію. Під час розв'язування складених задач для відповіді на запитання слід виконати кілька арифметичних дій
Таким чином, потрібно спеціально готувати учнів до того, що не завжди, розв'язуючи задачу, можна одразу відповісти на ї запитання., тому що одне із числових значень поки що невідоме. З цього витікає необхідність ґрунтовної підготовчої роботи до введення задач на дві дії і продуманої методики вивчення поняття “складена задача” та подальшого формування у дітей умінь розв'язувати такі задачі.
Розв'язування складених задач - непростий за своєю структурою процес, що охоплює кілька елементарних дій:
ъ аналіз змісту задачі: виділення умови і запитання;
ъ до складання короткого запису і пояснення за ним даних задачі та запитання;
ъ проведення аналітичного (синтетичного) пошуку шляху розв'язання задачі, під час якого слід обирати числові дані;
ъ виділення на схемі аналізу (синтезу), а потім формулювання кожної простої задачі, що міститься в складеній;
ъ складання плану розв'язання задачі;
ъ запису розв'язку;
ъ запису відповіді.
Згідно з вимогами до формування умінь та навичок, сформульованими Л.М. Фрідманом, засвоюючи складну дію, формуючи відповідні уміння або навички, слід засвоювати окремо кожну з елементарних дій, з яких вона складається.
Розв'язуючи прості задачі, учні поступово опановують уміння аналізувати їх зміст - виділяти умову і запитання, пояснювати вибір арифметичної дії, якою вона розв'язується, записувати розв'язок, а також поступово формувати уміння:
ъ складати короткий запис задачі, пояснювати за ним дані задачі і запитання;
ъ міркувати від запитання задачі до числових даних (засвоюючи мовні конструкції: “Що потрібно знати, аби відповісти на запитання задачі?”, “Потрібно знати два числових даних: 1-ше… та 2-ге…”, “Яку арифметичну дію треба виконати, щоб відповісти на запитання задачі? Чому?”, “Дію…”);
ъ записати відповідь задачі, починаючи з шуканого числа.
Під час підготовчої роботи пропонуємо ознайомити учнів з аналітичним способом розв'язування задач через створення певних ситуацій, які підкреслюють:
1. Необхідність визначення, про що можна дізнатися за певними числовими даними (ставлячи запитання до даної умови).
2. Неможливість відповіді на запитання задачі через недостатність числових даних (під час розв'язування задач з недостатньою кількістю числових даних).
3. Необхідність вибору числових значень для відповіді на перше запитання (під час розв'язування задач з зайвими числовими даними).
4. Неможливість відповіді на запитання, поставлене до даної умови, одразу (під час роботи з задачами з двома запитаннями).
5. Можливість складання задачі з двох простих, пов'язаних за змістом, виходячи із попереднього розв'язку цих задач і об'єднання схем аналізу (під час роботи над простими задачами, що пов'язані за змістом).
6. Можливість постановки додаткового запитання, яке вводить у процес розв'язування усі три числові дані, та будування схем аналізу, що складається з двох циклів (під час роботи над задачами з зайвими числовими даними; над двома послідовними простими задачами і над задачами з двома запитаннями).
Отже, підготовча робота до ознайомлення учнів зі складеною задачею полягає у розв'язанні наступних видів завдань:
ъ добір запитання до даної умови так, щоб задача розв'язувалася певною (іншою) дією;
ъ складання задач, які розв'язуються даним виразом;
ъ складання задач з числами, які розв'язуються даною арифметичною дією;
ъ розв'язування задач:
Ш з недостатньою кількістю числових даних;
Ш з зайвими числовими даними;
Ш з двома послідовними запитаннями;
Ш двох послідовних простих задач;
Ш двох послідовних простих задач, друга з яких - з недостатньою кількістю даних.
Першим з пунктів до цього виду роботи є добір запитання до даної умови метою якого є:
ъ навчити учнів ставити запитання до даної умови, на яке можна відповісти за числовими даними, що в ній міститься;
ъ закріпити мовні конструкції: “Для відповіді на запитання задачі потрібно знати два числових даних… На запитання задачі відповімо за допомогою арифметичної дії…”;
ъ вчити знаходити спільне і відмінне в текстових задачах.
Ось розглянемо для прикладу схему розбору задачі, в якій відсутнє запитання. Такі завдання подаються дітям для того, щоб вони досконало засвоїли структуру задачі.
Завдання 1. У гаражі було 11 машин. 8 машин поїхало.
- Це задача? Чому? (Це не задача, тому що тут немає запитання). Що треба зробити, щоб у нас вийшла задача? (Поставити запитання).
