Обобщения при обучении решению математических задач
72
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Вятский государственный гуманитарный университет»
Физико-математический факультет
Кафедра дидактики физики и математики
Выпускная квалификационная работа
Обобщения при обучении решению математических задач
Киров
2008
Оглавление
Введение
1. Теоретические основы обобщений при обучении школьников математике
1.1. Понятие обобщения и его роль при обучении математике
1.2. Виды и приемы обобщений
1.3. Сравнение и анализ - необходимые условия обобщения
1.4. Обобщения по аналогии при обучении решению задач
1.5. Индуктивные обобщения при обучении решению задач
Выводы по первой главе
2. Методические рекомендации осуществления обобщений на уроках математики при обучении решению задач
2.1. Обобщения при обучении методам решения математических задач
2.1.1 Обобщение способов решения конкретных задач до метода решения класса задач
2.1.2 Обобщение методов решения задач
2.1.3 Обобщение способов поиска решения многих задач до системы советов
2.2 Обобщение как метод решения математических задач
2.2.1 Обобщение решений задач по индукции
2.2.2 Решение задач «в общем виде»
2.3 Обобщение как источник новых математических задач
2.3.1 Обобщение данных при сохранении искомых
2.3.2 Обобщение (добавление искомых) при сохранении данных
2.3.3 Обобщение данных и искомых
2.4 Обобщения задач ведущие к формированию математических понятий и теорем
2.5 Таблицы как средство обобщения при обучении решению математических задач
2.6 Опытное преподавание
Выводы по второй главе
Заключение
Библиографический список
Введение
Во все времена отмечалась большая значимость математического образования для человека. В процессе усвоения математических знаний происходит развитие навыков проведения логических рассуждений, овладение умениями анализировать, обобщать, специализировать, определять понятия, составлять суждения, находить пути решения поставленной задачи. При изучении математики формируется мышление учащихся, развивается речь, а так же такие качества выражения мысли, как порядок, точность, ясность, краткость, обоснованность.
Основной задачей методики преподавания математики является поиск путей повышения эффективности процесса обучения школьников математике.
По мнению ученых решению проблемы способствует использование обобщений в процессе обучения. Изучением вопроса осуществления обобщений на уроках математики занимались многие методисты - математики В.Г. Болтянский, В.А. Далингер, Е.С. Канин, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Д. Пойа, Р.С. Черкасов и другие.
В школьной же практике обобщения используются чаще при изучении понятий, реже теорем, и совсем редко при обучении решению задач.
По мнению учителей математики, главной причиной недостаточного осуществления обобщений на уроках решения задач является отсутствие методических рекомендаций. Поэтому необходимо разработать такие рекомендации по осуществлению обобщений в процессе обучения решению математических задач. Это определяет актуальность данной работы.
Объектом исследования является процесс обучения решению задач на уроках математики в средней (полной) школе.
Предмет исследования - обобщения при обучении решению математических задач.
Цель работы: рассмотреть теоретические основы обобщений при обучении школьников математике, разработать методические рекомендации (содержательный аспект) осуществления обобщений при обучении решению математических задач и опробировать их на уроках математики в 10_м классе.
Гипотеза исследования: если на уроках математики организовать процесс обучения решению задач в соответствии с предложенными методическими рекомендациями, то это позволит повысить результативность обучения школьников решению задач.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Рассмотреть понятие обобщения, виды и приемы обобщений в философской, психолого-педагогической, математико-методической литературе и их роль в процессе обучения математике.
2. Выявить необходимые условия осуществления обобщений при обучении математике.
3. Рассмотреть обобщения по аналогии и индуктивные обобщения при обучении решению математических задач.
4. Разработать методические рекомендации осуществления обобщений при обучении учащихся средней (полной) школы решению математических задач и проверить их эффективность в 10 классе.
Методы исследования:
Для решения поставленых задач использовались следующие методы: изучение философской, психолого-педагогической, математико-методической литературы по проблеме осуществления обобщений в процессе обучения математике, наблюдение за работой учителей математики в период практики, применение разработаных учебно - методических материалов в процессе обучения математике.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные методические рекомендации могут быть использованы учителями математики в их деятельности.
1. Теоретические основы обобщений при обучении школьников математике
1.1. Понятие обобщения и его роль при обучении математике
Проблеме обобщения в процессе познания посвящены труды многих ученых философов, психологов, педагогов, математиков.
С точки зрения логики обобщение - это «построение (выведение) универсальных и экзистенциальных утверждений: а) в системах дедуктивной логики - на основе постулируемых правил построения таких утверждений (правил вывода для кванторов общности и существования) - т. н. обобщение переменных; б) в системах индуктивной логики на основе опытных (экспериментальных) данных («данных эмпирических свидетельств») - т.н. индуктивные обобщения». С гносеологической (и методологической) точки зрения обобщение - это «одно из важнейших средств научного познания, процедура перехода на более высокий уровень абстракции на основе выявления (в рассматриваемой области предметов) общих для этих предметов признаков: свойств, отношений, тенденций развития и т.п.» [40].
В философском энциклопедическом словаре обобщение понимается как «мыслительный переход: 1. От отдельных актов, событий к отождествлению их в мыслях (Предмет -> Мысль). 2. От одной мысли к другой (Мысль -> Мысль)» [41].
Д.П. Горский понимает под обобщением мыслительную операцию, переход от мысли об индивидуальном, к мысли об общем, от мысли об общем к мыслям о более общем; а так же переход от отдельных фактов, предметов и явлений к отождествлению их в мыслях и образованию о них общих понятий и суждений [8].
В психолого-педагогической литературе также имеются различные подходы к определению понятия «обобщение». В трактовках понятия прослеживается связь обобщения и мышления, обобщения и познания.
С.Л. Рубинштейн говоря о мышлении, утверждает, что «всякое мышление совершается в обобщениях. Оно всегда идет от единичного к общему и от общего к единичному. Мышление - это движение мысли, раскрывающее связь, которая ведет от отдельного к общему и от общего к отдельному. Мышление - это опосредованное - основанное на раскрытии связей, отношений, опосредовании - и обобщенное познание объективной реальности» [37, с. 310]. Автор отмечает, что обобщение можно понимать как основной путь образования понятий. В процессе обобщения происходит, с одной стороны, поиск и обозначение словом некоторого инварианта в многообразии предметов, с другой - опознание предметов данного многообразия.
Л.С. Выготский в своей психологической теории трактует обобщение как особый способ отражения действительности в сознании человека [7].
В психологическом словаре под редакцией В.В. Давыдова дается следующее определение обобщения: «Обобщение - одна из основных характеристик познавательных процессов, состоящая в выделении и фиксации относительно устойчивых, инвариантных свойств предметов и их отношений» [34].
Педагоги понятие «обобщение» также определяют неоднозначно.
В педагогическом энциклопедическом словаре обобщение определяется как «переход на более высокую ступень абстракции путем выявления общих признаков (свойств, отношений, тенденций развития и т.п.) предметов рассматриваемой области; влечет за собой появление новых научных понятий, законов, теорий. Обобщение обеспечивает мышлению учащихся определенность и последовательность» [29].
«Осмысление непосредственно перерастает в процесс обобщения знаний, в ходе которого обобщаются и объединяются общие существенные черты предметов и явлений действительности, изучаемых в соответствующий период обучения» - утверждает Ю.К. Бабанский [28, с. 147]. По его мнению, обобщение является одним из структурных этапов усвоения знания (восприятие, понимание, осмысление, обобщение, закрепление, применение).
При обучении математике распространенным является определение обобщения через множества. Д. Пойя [30] и Ю.М. Колягин [23] определяют обобщение как переход от данного множества предметов к рассмотрению более «емкого» множества, содержащего данное.
В пособиях по методике преподавания математики распространено понятие обобщения как операции мысленного выделения каких-либо общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений [22].
Обобщение как переход от понятий и теорем к более общим раскрывают М.С. Бернштейн [4], К.С. Богушевский [5], Д.И. Розенфельд [36], А.Г. Мордкович [26] и другие.
Как переход от ключевых, опорных задач к более сложным рассматривают обобщение Я.П. Понарин [33], Р.Г. Хазанкин [12] и другие.
Обобщение как инструмент при составлении моделей определяется в работах Л.М. Фридмана [42], П.М. Эрдниева [43] и других.
Обобщение способов решения задач рассматривают А.И. Островский [27], Е.С. Канин [14], Г.В. Дорофеев [11] и другие.
Обобщение как прием систематизации математических знаний и умений рассматривает в своих работах В.А. Далингер [21].
Как эффективный эвристический прием открытия новых фактов рассматривает обобщение Г.И. Саранцев [38] в своей книге «Общая методика преподавания математики». Он считает, что обобщение, как форма перехода от частного к общему, имеет целью выделение общих существенных свойств, принадлежащих определенному классу объектов.
Не смотря на различные подходы к определению понятия «обобщение», все ученые признают важную роль обобщений в процессе познания:
– образование любого общего понятия действительности необходимым образом включает процесс обобщения;
– обобщения дают возможность раскрывать внутренние связи между различными уже открытыми законами; благодаря обобщениям создаются эффективные единые правила оперирования с изучаемыми предметами;
– обобщенные теории дают возможность объяснять факты, которые не могли быть объяснены в пределах прежней теории.
– обобщение развивает мотивацию к обучению, облегчает изучение и применение знаний учащимися, улучшает качество знаний, что в итоге приводит к повышению образовательного, воспитательного и развивающего потенциала обучения.
Необходимость осуществления обобщений в обучении математике отмечают В.Г. Болтянский [6], Ю.М. Колягин [23], Д. Пойа [30], Г.И. Саранцев [38] и другие. Они считают, что знания, за которыми не стоит обобщающей работы мысли, - это формальные знания.
П.М. Эрдниев видит значение обобщения в том, что его применение в процессе обучения помогает самостоятельному расширению и углублению имеющихся знаний, так как «обобщение связано с преобразованием мыслей, с умственным экспериментированием; с развитием интуиции и перебором различных образов при отыскании общего знания. Обобщение есть одно из самых важных средств самообучения, автодидактики». Он также отмечает, что умение обобщать является непременной составной частью творческого мышления, так как «этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному» [43, c. 61].
С помощью обобщения происходит развитие творческих способностей учащихся; развитие познавательного интереса при решении задач [39], формирование и развитие умения сравнивать, что имеет большое значение в развитии мышления учащихся [16]; формирование умения видеть за абстрактными обозначениями реальные взаимосвязи в задачах [19].
Задачи являются и целью, и средством обучения математике. Поэтому необходимо использовать потенциал обобщения в процессе обучения решению задач, так как обобщения могут способствовать выводу общего метода решения некоторого класса задач из решений конкретных задач, выступать как метод решения задач, например, обобщенная задача может оказаться легче и понятнее исходной. При составлении новых задач обобщение является средством видоизменения задачи.
Таким образом, в работе под обобщением будем понимать переход от единичного к общему, от менее общего к более общему за счёт выделения общих существенных свойств или отношений. Обобщение играет очень важную роль в процессе обучения математике. С помощью обобщения происходит расширение и углубление знаний, а так же их систематизация. Обобщение помогает в формировании и развитии мотивации к изучению математики. Оно способствует усилению внутрипредметных связей, развивает творческое мышление и познавательный интерес в процессе обучения, является существенной стороной мыслительной деятельности. Необходимо использовать потенциал обобщения в процессе обучения решению математических задач. При решении задач обобщение может осуществляется как метод решения, или, наоборот, помочь в выводе метода решения задачи, а так же удобно при составлении новых задач.
1.2 Виды и приемы обобщений
В методике преподавания математики нет общепринятой классификации видов обобщения. Используя обобщения, методисты в основном берут за основу классификации философов и психологов.
Наиболее распространенной является классификация способов обобщений, предложенная Д.П. Горским [9].
1. Обобщение посредством перехода от конкретных высказываний к предложениям, содержащим переменные. (Введение понятия многоугольника, многогранника, уравнения и др. математические понятия после рассмотрения отдельных примеров.)
2. Обобщение посредством введения новых понятий, правил, операций, законов. (Введение понятий конгруэнтности, равновеликости, равнонаправленности, подобия фигур, понятий симметрии и др.)
3. Обобщение посредством анализа смысла некоторых выражений, возникающих в ходе развития науки. (В арифметике - введенное Эйлером определение умножения целого числа на дробь через обращение к закону коммутативности, в геометрии - введение понятия угла между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, понятий двугранного, многогранного угла и др.)
4. Обобщение как перенесение закономерностей, действительных для одной области, на новые предметные области. (Величины и числа, алгебраизация геометрии и др.)
5. Обобщение посредством индукции, т.е. переход от суждений, теорий, имеющих частное значение, к общим закономерностям. (В арифметике: всякое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел; в геометрии: все рассматриваемые в пространстве фигуры, обладающие свойством симметрии, имеют либо бесконечное, либо конечное нечетное число осей симметрии и др.)
6. Обобщение с помощью объединения двух или нескольких закономерностей в одну более общую закономерность. (Понятие о геометрических преобразованиях, композиции преобразований и др.).
Деление обобщений на эмпирические и теоретические, осуществленное С.Л. Рубинштейном и В.В. Давыдовым, так же используется в методике преподавания математики.
В основе эмпирического обобщения лежит операция сравнения. Проводя сравнение одной группы предметов, ученик выделяет их внешние, одинаковые общие свойства, обозначает их каким-либо словом, которое в результате может стать понятием об этой группе предметов.
Теоретическое обобщение осуществляется путем анализа данных о каком-либо одном предмете с целью выделения существенных внутренних связей, которые определяют этот предмет как целостную систему.
С.Л. Рубинштейн [37] выделил две характерные черты теоретического обобщения:
1) оно выполняется при таком анализе какого-либо одного конкретного факта (события, задачи), который обнаруживает внутреннюю связь его частных проявлений;
2) исходя из знания этой связи, ученик затем сразу может обобщить все другие факты (события, задачи) данного круга.
Если для эмпирического обобщения характерно длительное сравнение многих исходных фактов для их постепенного обобщения, то для теоретического обобщения этого не требуется. Теоретическое обобщение строится на рефлексии, которая состоит в рассмотрении учащимися оснований собственных действий и их соответствия условиям задачи, и на анализе содержания задачи с целью выделения принципа или всеобщего способа ее решения.
В качестве приемов обобщения при обучении решению задач ученые выделяют отбрасывание ограничений, введение параметра, видоизменение задачи, построение «теории в малом масштабе» и т.д.
Г.И. Саранцев считает, что «использование обобщения при решении задач основано на расширении области изменения параметра, или на переходе от данного множества к более широкому множеству, содержащему данное. Первое направление преимущественно применяется в алгебре, второе - в геометрии» [38, с. 110]
В качестве приема отбрасывания ограничений, можно рассматривать обобщения данных или искомых задачи в различных проявлениях:
1) отбрасывание ограничений путем замены числовых данных или искомых параметром;
2) отбрасывание ограничений путем обобщения понятий, входящих в содержание задачи;
3) отбрасывание ограничений на требования задачи, постановка более общего вопроса;
4) отбрасывание ограничений путем введения большего числа элементов задачи;
