1) k=-1, тогда a+c=0, тогда a=0, что противоречит условию (число четырехзначное).
2) k=0, тогда 2*(a+c)=11, чего не может быть.
3) k=1, тогда a+c=11, b=0, d=0 и все значения a и с можно записать в таблицу 2:
Табл. 2
a | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
c | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
Число вариантов конечно, снова решив задачу для каждого варианта, находим, что решением задачи будут числа 2090, 3080, 4050, 5060, 6050, 7040, 8030,9020.
Таким образом, чтобы применять обобщение как метод решения задачи «по индукции», нужно уметь выделять частные в случаи задаче.
2.2.2 Решение задач «в общем виде»
Необходимо обучать школьников решению задач «в общем» виде, так как решение задачи «в общем» виде часто может оказаться доступнее, легче, рациональнее, чем решение конкретной задачи. Так же обобщенная формулировка задачи помогает усвоению математической сущности конкретных задач и позволяет обнаружить способ решения исходной задачи. К более общей задаче могут быть применимы методы, которые не применимы к исходной задаче.
Обобщенная задача иногда подсказывает новый способ решения.
Пример 23. Вычислить |a| - 2*|a| + 9*|a|2+35*|a|5-21*|a|3-5*|a|4 при a равных -2; 1.
Так как модуль раскрывается в зависимости от того, какой знак имеет подмодульное выражение, то обобщением задачи может быть следующая задача: Найти значение выражения F(a), если a<0; a >=0.
Обобщенная задача помогает прояснить суть конкретных задач. При a<0 учащиеся поймут суть раскрытия модуля с отрицательным знаком, при a >=0 с положительным.
Иногда задачу удобнее решать сформулировав ее в общем виде.
Пример 24. Даны правильный октаэдр и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую октаэдр на две равновеликие части [30].
Эта задача может показаться сложной, поэтому рациональнее ее сформулировать в общем виде, используя знания о правильном октаэдре: «Даны замкнутая поверхность, обладающая центром симметрии, и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую объем тела, ограниченного данной поверхностью, на две равновеликие части». Искомая плоскость должна проходить через центр симметрии поверхности и определяться этой точкой и данной прямой. Так как октаэдр обладает центром симметрии, тем самым первоначальная задача оказывается найденной.
Так же следует использовать решение задачи в «общем виде» и в задачах с конкретными значениями, но решения которых громоздки. Решение задачи в «общем» виде с последующей подстановкой числовых данных часто позволяет лучше просмотреть план решения задачи, сократить записи, затратить меньше времени на вычисления.
Таким образом, при использовании обобщения как метода решения задач необходимо уметь выделять частные случаи. Так же полезно обучать школьников решению задач в общем виде, так как часто обобщенную задачу решить легче, чем конкретную задачу.
2.3 Обобщение как источник новых математических задач
Обобщения при обучении решению математических задач могут способствовать возникновению новых задач. Новые задачи могут появиться как при исследовании конкретной задачи и ее решения, так и при исследовании обобщенной задачи и ее решения.
К возникновению новой обобщенной задачи могут привести индуктивные обобщения. Обратная операция - специализация, позволяет от обобщенной задачи перейти к конкретным задачам.
Так же с помощью обобщений по аналогии из одной конкретной задачи получают новые конкретные задачи, из обобщенной задачи - новые обобщенные задачи.
Получение новых задач важно тем, что при составлении задач учащиеся усваивают структуру задачи, взаимосвязь данных, данных и искомых, обнаруживают внутреннюю связь между задачами.
Для того чтобы получить новые задачи при помощи обобщений, используют следующие приемы:
1) обобщение данных при сохранении искомых;
2) обобщение (добавление) искомых при сохранении данных;
3) обобщение данных и искомых.
Рассмотрим подробнее эти приемы.
2.3.1 Обобщение данных при сохранении искомых
Замена одних данных (или части данных) другими при сохранении искомых приводит к применению разнообразных приемов и методов решения, казалось бы, близких по содержанию задач. При этом может применяться не один прием, а широкий спектр методов.
Изменением условия задачи при сохранении требования может являться: замена данных более общими; замена одних отношений между объектами задачи другими.
Замена числовых данных задачи параметром часто приводит к обобщенной задаче. Специализация обобщенной задачи помогает получить целый класс аналогичных задач. Конкретные числовые данные можно заменять буквами не все сразу, а последовательно.
Пример 25. «Найти, если сторона нижнего основания равна 10 м, сторона верхнего 5 м и высота пирамиды 6 м» [30].
Если числа 10, 5, 6 заменить буквами, например а, b, h, получим обобщенную задач: «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна a, сторона верхнего b и высота пирамиды h». Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы воспринимаем данные величины как переменные.
Обобщенная задача дает возможность составить и решить еще несколько типов задач, в которых одна из величин является искомой, а остальные - данными.
К появлению новых задач так же приводит обобщение понятий, данных в задаче.
Пример 26. Найти диагональ куба, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).
Обобщив понятие куба до понятия прямоугольного параллелепипеда, получим новую задачу:
Пример 27. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).
Замена одних отношений между объектами задачи другими тоже может привести к появлению новых задач.
Пример 28. Как изменится частное двух чисел если делимое увеличить в три раза?
Можно исследовать эту задачу и получить новые, размышляя, что произойдет с частным, если делимое увеличить в 3 раза, уменьшить в 3 раза, если изменить делитель, если изменить одновременно делимое и делитель? Возникает целая серия задач, порожденных данной задачей, которые можно записать в таблицу 3.
Табл. 3
Условие задачи | Вопрос задачи | |
* Если делимое увеличить в 3 раза * Если делимое уменьшить в 3 раза * Если делитель увеличить в 3 раза * Если делитель уменьшить в 3 раза * Если делимое и делитель увеличить в 3 раза * Если делимое увеличить, а делитель уменьшить в 3 раза * Если делимое уменьшить, а делитель увеличить в 3 раза * Если делимое и делитель уменьшить в 3 раза | Как изменится разность? |
После решения конкретных задач полезно сделать обобщения: если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же положительное число раз, то не изменится; если делимое увеличить, а делитель уменьшить в одно и то же положительное число раз, то частное увеличиться в квадрат этого числа; если делимое уменьшить, а делитель увеличить в одно и то же положительное число раз, то частное уменьшится в квадрат этого числа.
Изменяя отношения между данными задачи, делая их более общими так же можно получить новые задачи.
Пример 29. Доказать, что сумма расстояний, от точки пересечения медиан правильного треугольника до его сторон постоянна.
От этой задачи можно перейти к следующей:
Пример 30. Доказать, что сумма расстояний, от точки взятой произвольно внутри правильного треугольника до его сторон постоянна.
2.3.2 Обобщение (добавление искомых) при сохранении данных
Новая математическая задача может быть получена с помощью изменения требования задачи при сохранении условия: добавления новых заключений; обобщения искомых.
В большинстве случаев в задаче встречается лишь один вопрос, одно заключение, но содержащаяся в задаче информация иногда позволяет сделать и другие выводы (ответить на другие вопросы, сделать другие заключения), т.е. добавить новые заключения при сохранении данных.
Пример 31. Даны две прямые a и b. Доказать, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны. [1]
Вначале требуется доказать параллельность прямых a и b. Тогда прямая, пересекающая a будет не только пересекать прямую b, но и обладать свойствами над этими прямыми: их накрест лежащие, соответственные и углы будут равны, а сумма односторонних будет равна 1800. Поэтому можно сформулировать более общую задачу.
Пример 32. Даны две прямые a и b. Доказать, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны, их накрест лежащие, соответственные и углы будут равны, а сумма односторонних будет равна 1800.
Задачи, которые приучают учащихся рассматривать всевозможные заключения из данных посылок, что бывает необходимо при решении многих задач на доказательство, при доказательстве различных теорем, иногда называют задачами «без вопросов». На основе решения таких задач удобно рассматривать обобщения о искомых в задаче.
Пример 33. Дана прямоугольная призма, в основании которой трапеция. Установите всевозможные взаиморасположения прямых, содержащих ребра данной призмы.
Прямые, содержащие ребра данной призмы могут
находиться в трех положениях: быть параллельны,
пересекаться, быть скрещивающимися. Учащиеся, находя
параллельные, скрещивающиеся и пересекающиеся прямые, делают выводы о свойствах призмы: что для каждой прямой, находящейся в плоскости одного основания всегда есть прямая, параллельная в плоскости другого основания; все прямые, содержащие боковые ребра параллельны; каждая прямая, содержащая боковое ребро, пересекается с двумя прямыми, содержащими ребра оснований, с остальными скрещивается.
2.3.3 Обобщение данных и искомых
Нередко обобщение данных задачи приводит к обобщению искомых.
Так, обобщение понятий, в условии задачи может привести к обобщению вопроса задачи. Таким образом, теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.
Пример 34. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Пример 35. В произвольном треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Обобщение данных и искомых задачи до параметра так же приводит к составлению новых задач. Например, зная, что правильный треугольник определяется любым элементом, можно составить задачи, связывающие между собой элементы правильного треугольника: стороны, медианы, радиусы вписанной и описанной окружностей.
Таким образом, мы показали как обобщения при обучении решению математических задач приводят в возникновению новых задач. Это происходит в результате исследования задач и их решений, а так же исследований обобщенных задач и их решений. Используя обобщение и специализацию, учащиеся могут сами составлять новые задачи, осуществляя замену части данных другими при сохранении искомых, добавляя новые заключения или обобщая искомые.
2.4 Обобщения задач ведущие к формированию понятий и теорем
С помощью обобщений можно осуществлять введение понятий и теорем. При этом происходит мотивация введения понятий и теорем, учащиеся сами осознают, как получили и для чего нужно новое знание, определяют его место в системе других понятий или теорем, и легко применяют его при решении различных задач.
При формировании понятий различают обобщения: 1) от конкретных примеров до математического понятия; 2) самих математических понятий.
К определению понятия часто приводит обобщение конкретных примеров.
Пример 36. Определение средней линии треугольника, в основном, в учебниках геометрии вводится дедуктивно. При этом большинство учащихся плохо усваивают определение средней линии треугольника или путают его с теоремой о средней линии треугольника.
Данное определение можно ввести, выделив отличительное свойство средней линии треугольника: соединение середин двух сторон треугольника.
Формирование понятия происходит в три этапа:
1) Выделение общего свойства у класса примеров. Глядя на рисунок 6, уместно задать вопрос ученикам: какими общими свойствами обладает линия
MN на рисунке?
При таком обобщении учащиеся анализируют рисунки, находят в них общее свойство, которое сохраняется во всех данных рисунках: MN соединяет середины двух сторон треугольника. Это свойство включается в определение средней линии треугольника: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
2) Осуществление специализации на следующем примере (рис. 7).
Необходимо найти средние линии.
4) Так же вместе с примерами объектов, удовлетворяющих
определению понятия необходимо привести контрпримеры, объекты, которые к изучаемому понятию не относятся (рис. 8).
Таким образом сформированное понятие четко осознается учащимися, а выделенное свойство и приведенные контрпримеры помогут быстро отличать его от других.
При обобщение планиметрии до стереометрии происходит большинство переходов от одних понятий к другим, более общим.
Пример 37. Обобщение параллельности прямых на плоскости до параллельности прямых в пространстве может осуществляться так: вспомнить определение параллельности прямых на плоскости: «Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются»; рассмотреть две прямые в пространстве. В результате беседы приходим к выводу, что для определения параллельности двух прямых в пространстве, необходимо, чтобы они принадлежали одной плоскости; обобщить определение параллельности прямых на плоскости до определения параллельности прямых в пространстве: «Две прямые в пространстве называются параллельными, если они принадлежат одной плоскости и не пересекаются».
По такому же принципу происходит обобщение квадрата до куба, площади параллелограмма до объема параллелепипеда, и другие.
Индуктивные обобщения при изучении теорем так же необходимы.
В основе любой теоремы лежит задача на доказательство. Поэтому осуществление обобщений при решении задач на доказательство позволяют учащимся увидеть возникновение теоремы, метода её доказательства, установить связь между различными теоремами, сформулировать новые, систематизировать теоремы и методы доказательства. Это облегчает проведение мотивации при введении теорем, приводит к осознанному восприятию идей доказательства, к пониманию и усвоению содержания теоремы, разумному применению теоремы для решения задач.
Индуктивные обобщения при решении задач на доказательство можно разделить на:
1) обобщение конкретных задач до формулировки теоремы;
2) обобщение теорем.
Индуктивное обобщение конкретных задач до теоремы состоит в том, что в результате сравнения и анализа решения нескольких конкретных задач можно выдвинуть гипотезу для общего случая и вывода теоремы.
Пример 38. Доказать, что если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800, то около этого четырехугольника можно описать окружность.
Задачу можно обобщить до формулировки теоремы:
«В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800».
Возможно обобщение самих теорем до более общих. Любая доказанная теорема становится началом для открытия новых фактов и соотношений, доказательств новых теорем, т.е. входит в их доказательства.
Например, теорема о параллельности прямой и плоскости в пространстве обобщается до теоремы о параллельности трех прямых в пространстве, которая может быть обобщена до признака параллельности двух плоскостей.
При таких обобщениях расширяется множество объектов, к которым применимы рассматриваемые свойства и часто сохраняются методы доказательства.
Так же сами теоремы являются обобщениями ранее известных. Для соединения знаний в систему необходимо проводить обобщения теорем и показывать переходы от одних теорем к другим.
Так, обобщая теорему «площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов», отбросим ограничение, что треугольник прямоугольный и получим теорему «Площадь произвольного треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними».
