Действительные числа

Векторы

1. Существуют отношения ра венства и неравенства

1. Существуют отношения ра венства и неравенства

2. Есть ноль

2. Есть нулевой вектор

3. Существуют противоположные числа a + (- a) = 0

3. Существуют противоположные векторы:

4. Определены действия сложения и вычитания чисел. Результат - число

4. Определены действия сложения и вычитания векторов. Результат - вектор.

5. Выполняются законы сложения

a + b = b +a,

a + (b + c) = (a + b) + c

5. Выполняются законы сложения:

6. Определены действия умножения и деления чисел. Результат - число. Делить на 0 нельзя

6. Определено действие умножения (деления) вектора на число. Результат - вектор.

Определено скалярное умножение векторов. Результат - число.

7. Выплоняются законы умножения:

a*b=b*a

(a*b)*c=a*(b*c)

(a+b)*c=a*c + b*c

a*b 0, если a0, b 0

7. Выплоняются законы умножения:

Не выполняется

может быть при 0, 0

8. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой

8. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов и точками координатной плоскости

9.

9. - длина вектора

10. Направление на прямой

10. Направление на плоскости

Векторы в геометрии

Векторы в физике

Вектор - направленый отрезок

Вектор - направленый отрезок: сила, скорость, ускорение, момент силы и т.п.

Скалярное умножение векторов

Работа:

1) при движении по наклонной плоскости

2) где Ф - магнитный поток, В-магнитная индукция, S - площадь контура

Вычисление длины лектора

Нахождение значения равнодействующей силы, скорости и др.

Разложение вектора по координатным осям или по двум данным векторам

Разложение сил, скоростей, других векторных величин по координатным осям или двум данным векторам

Нулевой вектор

Сумма сил по замкнутому многоугольному контуру; сумма сил приложенных к центру тяжести фигуры

Компланарные вектора

Силы, скорости, ускорения и др., действующие в одном или противоположных направлениях

Некомпланарные векторы

Физические векторные величины, направленные друг к другу под углом

Задача о скорости движения (механика)

Задача о касательной к графику функции (геометрия)

Задача о мгновенной силе электрического тока (физика)

общий алгоритм решения этих задач

Найти мгновенную скорость движения тела в момент времени t.

Дан график функции f=f(x) и точка М(х0, f(x0)) на нем. В этой точке к графику проведена касательная (предположим что существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Для цепи переменного тока определить силу тока в данный момент времени

Нахождение производной функции в заданной точке.

Обозначим зависимость пути от времени как функцию S=S(t).

Рассмотрим функцию f=f(x) дифференцируемую в заданной точке М

Рассмотрим зависимость количества электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за время t как функцию Q=Q(t)

Выбираем некоторую функцию f=f(x).

зафиксируем какой то момент времени t, дадим аргументу t приращение t и рассмотрим ситуацию в момент времени

Зафиксируем х0 и придадим приращение аргументу х. Получим точку х+х0

Зафиксируем значение времени t0, дадим аргументу t приращение t и рассмотрим промежуток времени от t0 до t0+t.

Зафиксируем х0, придадим приращение аргументу х. Получим точку х+х0

Найдем S(t), S (t+t) и вычислим приращение функции S (t+t) - S(t)= S.

Найдем f(x0), f(x0+x) и вычислим приращение функции f(x0+x) - f(x0)= f. Через точки М(х0, f(x0) и М' (x0+x, f(x0+x)) проведем секущую к кривой MM'.

Найдем Q(t0), Q(t0 + t) и приращение количества электричества Q = Q(t0+t) - Q(t0)

Найдем f(x0), f(x0+x), приращение функции f(x0+x) - f(x0)= f.

Найдем среднюю скорость vср.=

Тогда угловой коэффициент секущей будет

Найдем среднюю силу тока Iср.=

Составим отношение

Тогда мгновенная скорость движения в момент времени t будет вычисляться как предел средней скорости при t->0: vмгн.=

Учитывая, что касательная к кривой в точке М есть предельное положение секущей то при х->0 M'->M. Получаем:

Мгновенная сила тока есть предел средней силы тока при t->0.

Iуд.=

определяем условие существования предела

Это и есть мгновенная скорость движения тела.

Это и есть угловой коэффициент касательной

Это есть определение мгновенной силы тока.

Тогда предел есть производная функции f=f(x) в точке x0 и обозначается f' (x0)

Решение конкретной задачи

Решение обобщенной задачи

сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

По исходным данным найти наибольшее или наименьшее значение какой-либо функции

1. Введем переменные: первое число равно х, второе - 24_х

2. Ввести переменную, выразить через нее все остальные переменные задачи

2. Произведением двух чисел является функция P(x)=x (24_х)

3. Составить функцию для исследования на экстремум

3. Так как х - целое число, а сумма двух чисел равна 24, то 0 < х < 24

4. Определить по условию задачи области задания функции

4. Задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция P(x)=x*(24_х) принимает наибольшее значение на интервале (0; 24); P' (x)= 24-2х; 24-2х = 0. Отсюда х = 12.

При х=12 функция P(x)=x*(24_х) на интервале (0; 24) принимает наибольшее значение

5. Исследовать полученную функцию на экстремум, затем на наибольшее или наименьшее значение на области задания

5. Таким образом оба числа равны 12.

6. Записать ответ

Вид призмы

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы

Площадь боковой поверхности правильной n_угольной призмы.

Чертеж

Общая формула площади боковой поверхности призмы

Sбок= Pосн*h

Sбок= Pосн*h

Вывод формулы площади боковой поверхности призмы необходимого вида

1) h - высота правильной треугольной призмы, в данном случае ребро призмы.

2) Pосн - периметр правильной треугольной призмы

В основании правильный треугольник -> Pосн = 3*a, где а - сторона правильного треугольника, находящегося в основании призмы

1) h - высота правильной n_угольной призмы, в данном случае ребро призмы

2) Pосн - периметр правильной n_угольной призмы

В основании правильный n_угольник -> Pосн = n*a, где а - сторона правильного n_угольника, находящегося в основании призмы

формула площади боковой поверхности призмы необходимого вида

Sбок= 3*а*h

Sбок= n*а*h

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Метод

Построить равнобедренный треугольник ABC (b=c) по а, hb.

Построить треугольник ABC по a, mb, mc

Построить ромб ABCD по диагонали BD и высоте ВН

Построение фигуры с помощью вспомогательного треугольника

1) Ищем вспомогательный треугольник: таким треугольником удобно считать CDB.

2) Это даст угол C, следовательно, и угол ABC.

3) есть а, B, C, значит, можно построить треугольник ABC

Схематично запишем:

- (a, hb)->CDB-> C

- (a,B,C)-> ABC

1) Пусть M - точка пересечения медиан. Ищем вспомогательный треугольник: это CMB.

2) (2/3mb,2/3mc, a) дадут CMB, следовательно СBE и BCD

3) с помощью этих углов можно построить стороны b, с.

- (mb, a, СBE)-> СBE->1/2b

- (mc, a, BCD)-> DCB->1/2c

- (b, c, a)-> ABC

1) Ищем вспомогательный треугольник: так как известна высота и диагональ, то этоBHD.

2) это даст BDH.

3) Теперь можно построить равнобедренный треугольник BDA, а следовательно, и ромб ABCD.

1) Проанализировать условие задачи и найти вспомогательный треугольник.

Произвести чертеж.

2) Определить элементы вспомогательного треугольника, с помощью которых возможно дальнейшее построение искомой фигуры.

3) произвести дальнейшее построение.

Вопросы и советы для усвоения содержания задачи

А). Сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче.

Б). Ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. В задаче на нахождение выделить данные и искомые, а в задаче на доказательство - посылки и заключения.

В). В том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены, надо ввести подходящие обозначения.

Г). Часто пониманию задачи помогает разделение условия на части и запись каждой части условия с помощью введенных обозначений.

Д). Если задача геометрическая или связана с геометрическими фигурами, полезно к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые.

Е). Полезно ответить на вопрос: «Возможно ли удовлетворить условию задачи?» Отвечая на него, полезно выяснить, однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных. Одновременно выясняется, достаточно ли данных для решения задачи.

Вопросы и советы для составления плана решения задачи

А). Известна ли вам какая-либо родственная задача? Аналогичная задача?

Б). Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую?

В). Если родственная задача неизвестна и свести данную задачу к какой-либо известной задаче не удается, то стоит воспользоваться советом: «Попытайтесь сформулировать задачу иначе». При переформулировании задачи либо пользуются определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями).

Г). Составляя план решения задачи, следует задать себе вопрос: «все ли данные задачи использованы?» Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения. Возможно, имеются «скрытые» данные.

Д). Иногда полезно следовать совету «Попытайтесь преобразовать искомые или данные». При этом данные преобразуют так, чтобы они приблизились к искомым.

Е). Если следуя предыдущим советам, вам не удалось составить план решения, то можно воспользоваться таким советом: «попробуйте решить лишь часть задачи», т.е. попробуйте удовлетворить лишь части условий, с тем, чтобы далее искать способ удовлетворить оставшейся части условий задачи. Этот совет можно расширить, развить до совета: «Расчлените задачу на более простые задачи».

Ж). Нередко в составлении плана решения задачи помогает ответ на вопрос: «Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?» Обнаружив такой частный случай, можно воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Совет: «Рассмотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для какого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения».

3). Иногда решение задачи оказывается проще, если сформулировать и решить задачу сначала более общую, а затем с ее помощью решить данную задачу. Совет: «Попробуйте сформулировать и решить более общую задачу».

Советы для реализации плана решения задачи

А). Проверяйте каждый свой шаг, убеждаясь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие известные ранее математические факты, предложения.

Б). При реализации плана поможет совет: «Замените термины и символы их определениями».

В). При решении некоторых задач помогает совет: «Воспользуйтесь свойствами данных в условии объектов».

Анализ и проверка правильности решения задач

А). Проверьте результат.

Б). Проверьте ход решения.

В). Проверяя правильность хода решения, убеждаемся и в правильности результата. Совет: «Проверьте все узловые пункты решения».

Г). Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно ответить на вопрос: «Нельзя ли тот же результат получить иначе?» иными словами стоит следовать совету: «Решите задачу другим способом». Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, задачу можно считать решенной правильно.

шаги

Задача №1: докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Общий алгоритм

Задача №2: докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

1

Рассмотрим треугольник ABC, угол С-прямой. М - середина гипотенузы AB. Введем прямоугольную систему координат так, что С-центр, CB_на оси х, СA - на оси у.

Вводим прямоугольную систему координат так, чтобы одна из точек фигуры являлась центром, и хотя бы одна сторона лежала на какой-либо оси.

АBCD_данный параллелограмм. Введем прямоугольную систему координат так, что А-центр, AD - на оси х.

2

Обозначим: BC=a, AC=b, тогда вершины C (0,0), B (a, 0), A (0, b), М (a/2, b/2)

Обозначаем координаты точек во введенной системе координат.

Обозначим: AD=BC=a, тогда вершины A (0,0), B (b, c), D (a, 0), C (a+b, c)

3

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдем длины отрезков MC, MA:

Используя нужную формулу, составляем равенство, которое необходимо доказать, и доказываем его в координатной форме.

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем:

AB2=b2+c2; AD2=a2; AC2=(a+b)2+c2; BD2=(a-b)2+c2

Отсюда:

AB2+BC2+CD2+DA2= 2*(AB2+AD2)=2*(a2+b2+c2), AC2+AD2=(a+b)2+c2+(a-b)2+c2= 2*(a2+b2+c2)

MA=MB=MC, что и требовалось доказать

Запись ответа

Таким образом, AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2, что и требовалось доказать

№

Задача

Решение задачи

Вывод

1

Определить вид четырехугольника ABCD его вид, если известно, что A+B=1800, A=смежному с D по продолжению AD и имеет место равенство: AB+CD=BC+AD

1) A+B=1800, то AD||BC (A и B - односторонние)

2) A= по продолжению AD, то AB||CD((A и смежному с D - соответственные).

Таким образом

ABCD - параллелограмм.

3) В параллелограмме

равенство: AB+CD=BC+AD

верно только при равенстве всех элементов, то есть AB=BC=CD=AD.

Делаем вывод: вид четырехугольника - параллелограмм, у которого все стороны равны.

Определение: параллелограмм, у которого все стороны равны называется ромбом

2

Дан, параллелограмм ABCD AB=BC=CD=AD. Доказать, что треугольник BOC - прямоугольный, где O - точка пересечения диагоналей.

1) AB=BC=CD=AD, треугольник ABC - равнобедренный.

2) В параллелограмме диагонали точкой

пересечения делятся пополам,

то есть OA=OC и BO - медиана.

3) В равнобедренном треугольнике

медиана является еще и высотой,

то есть BOC=900

Таким образом треугольник BOC - прямоугольный

Так как в параллелограмме ABCD все стороны равны, то это ромб. Задача отражает свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны

3

В параллелограмме ABCDABD=DBC, AB=a. Найти периметр параллелограмма ABCD.

1) ABD=DBC. так как ABCD - параллелограмм, то DBC (накрест лежащие)

2) Тогда треугольник - равнобедренный

(ABD=BDA) и AB=AD=a.

3) Тогда в параллелограмме ABCD

все стороны равны и его периметр

равен 4*а

Выявили, что данный параллелограмм является ромбом. В ромбе справедливо, что его диагонали делят углы пополам