Таким образом, обобщение при формировании понятий и введении теорем очень полезно. Обобщение знания от конкретных задач до понятия и от задач на доказательство к доказательству теорем помогает проведению мотивации введения понятий и теорем, применению их при решении различных задач.
2.5 Таблицы как средство обобщения при обучении решению математических задач
При обучении решению математических задач удобно проводить обобщения, когда информация представлена в таблицах. Такие таблицы будем называть обобщающими.
Обобщающие таблицы служат для проведения сравнения и анализа математических задач и их решений, при систематизации способов и методов решения задач, при составлении системы советов для поиска решения задач, при выводе понятий и обобщении материала, используемого при решении задач.
При выводе метода решения задач удобно решение по этапам записывать в таблицу. При этом таблица будет состоять из двух столбцов: в первом - решение конкретной задачи, во втором - общий метод решения или алгоритм метода решения задач такого класса.
Для более глубокого понимания метода решения задачи очень эффективно дополнение таблицы еще одним столбцом, в котором показана специализация метода на еще одной конкретной задаче.
Пример 39. Общий алгоритм применения метода координат к решению математических задач можно вывести, проведя анализ решения задачи, к которой применим этот метод. Метод заключается во введении прямоугольной системы координат и записи условия задачи в координатах, после чего решение задачи легко провести с помощью алгебраических вычислений. Необходимо пошагово расписать решение задачи в первом столбце и записать обобщенный алгоритм решения во втором столбце [Приложение 10].
Так решение конкретной задачи приводит к выводу общего алгоритма решения класса задач методом координат:
1. Изучить условие задачи, ввести прямоугольную систему координат так, чтобы одна из точек фигуры являлась центром, и хотя бы одна сторона лежала на какой-либо оси.
2. Обозначить координаты точек во введенной системе координат
3. Используя нужную формулу, составить равенство, которое необходимо доказать, и доказать его в координатной форме.
4. Записать ответ.
Использование метода координат позволит решать и другие задачи.
После вывода алгоритма полезно сразу провести его специализацию на второй задаче, оформив все записи в таблицу.
Так же обобщающие таблицы удобно использовать при выводе нового понятия. При этом понятие формулируется на основе решенных задач, подводящих к его определению.
Пример 40. К определению понятия ромба можно подвести, решив три задачи определяющие его характеристические свойства и сделав вывод.
В учебнике [1] дается такое определение ромба: «Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны». Далее приводится особое свойство ромба: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам». Для целостного осознания понятия «ромб» следует определение ввести вместе со свойством.
И так, требуется три задачи:
1) задача, подводящая к определению понятия: ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны;
2) задача, подводящая к первой составляющей свойства ромба: диагонали взаимно перпендикулярны;
3) задача, подводящая ко второй составляющей свойства ромба: диагонали делят его углы пополам.
Все данные удобно оформить в таблицу [Приложение 11].
Решив все три задачи, следует приступить к заполнению четвертого столбца.
Из первой задачи следует определение ромба. Из условия второй задачи следует, что параллелограмм ABCD - ромб, и в нем диагонали пересекаются под прямым углом. Результатом решения третьей задачи является выяснение, что параллелограмм ABCD - ромб и к любому ромбу будет применимо условие задачи, что его диагонали делят углы пополам.
В результате такого способа формирования, понятие «ромб» гораздо лучше усваивается учащимися, чем введение понятия дедуктивно.
Широкое применение таблиц отмечается при обобщении материала, используемого при решении задач. Такие обобщающие таблицы могут быть использованы для различных целей: повторить и систематизировать знания, установить причинно-следственные связи между свойствами объектов, изложить материал укрупненными блоками, рационально заучить и воспроизвести материал [15].
Особое место среди обобщающих таблиц занимают динамические обобщающие таблицы. Они четко отражают взаимосвязи объектов в таблице и логику обобщения.
Примерами таких таблиц могут быть: обобщающая таблица свойств действительных чисел и векторов в школьном курсе математики [15] [Приложение 1] и сравнительная таблица связи векторов в геометрии и физике [15] [Приложение 2]. Примером обобщающей таблицы систематизации знаний учащихся может служить динамическая обобщающая таблица основных тригонометрических формул и их взаимосвязей [10] [Приложение 3].
Таким образом, для лучшего понимания процесса сравнения и анализа задач, при систематизации методов решения задач, при выводе понятий и обобщении материала, используемого при решении задач, удобно использовать обобщающие таблицы.
2.6 Опытное преподавание
Цель: апробация методических рекомендаций на уроках математики в 10-м классе, выявление их влияния на результативность обучения школьников решению задач.
Место проведения: муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия №2 города Кирово - Чепецка Кировской области.
Время проведения: 2007-2008 учебный год.
Класс: 10
Учитель: Останина Ольга Александровна, учитель математики высшей квалификационной категории.
Содержание опытного преподавания.
Учитель систематически и целенаправленно в соответствии с методическими рекомендациями осуществлял обобщения решения задач при изучении различных тем алгебры и начала анализа и геометрии.
Приведем некоторые примеры использования обобщений.
Обобщение и систематизация теоретического материала по теме преобразование тригонометрических выражений учитель проводил при помощи динамической обобщающей таблицы основных тригонометрических формул и их взаимосвязей из пункта 2.5 [Приложение 3].
При изучении темы «производная» для формирования понятия производной осуществлялось индуктивное обобщение результатов решений задач из различных областей знаний (механики, геометрии, физики).
На основе сравнения и анализа решения конкретных задач был выявлен общий математический алгоритм решения для всех конкретных задач, которые приводят к новому математическому понятию - понятию производной. Все записи были оформлены в таблицу. [приложение 4]
После заполнения таблицы дается определение производной: производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, вычисленный при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен.
Понятие производной позволило сформулировать другие понятия: мгновенной скорости тела («мгновенная скорость есть производная пути по времени»), углового коэффициента касательной к графику дифференцируемой функции («угловой коэффициент производная функции в этой точке f(х0)»), мгновенной силы тока («мгновенная сила тока есть производная количества электричества по времени»).
При таком подходе учащиеся смогли осознать появление понятия и усвоить механический, геометрический, физический смысл производной, а так же научиться решать разнообразные задачи на приложения производной.
При изучении этой же темы проводилось обобщение решения конкретной задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения до метода решения класса задач на оптимизацию.
Для этого была выбрана конкретная задача, ее решение оформлялось в таблицу, состоящую из двух столбцов [приложение 5]. В левом столбце - решение конкретной задачи, в правом - решение обобщенной задачи.
Задача: сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение [25, №949а].
Таким образом был выведен общий метод решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения.
Составленная схема решения задач на оптимизацию сравнивалась со схемой решения алгебраических текстовых задач и был сделан вывод, текстовые задачи алгебры и начал анализа решаются по одной схеме
Из решения данной конкретной задачи так же можно вывести следующее обобщение: «произведение двух чисел, если известна их сумма, будет наибольшим, если эти числа равны».
Обобщение как метод решения задач по индукции использовалось при выведении формулы площади боковой поверхности правильной n_угольной призмы.
Вначале выводилась формула площади боковой поверхности правильной треугольной призмы.
Так как Sбок= Pосн*h, то для правильной треугольной призмы будет выполняться: Sбок= 3*а*h, где а - сторона правильного треугольника, находящегося в основании призмы.
Далее формула обобщалась до формулы площади боковой поверхности правильной n_угольной призмы.
Так, Sбок= n*а*h, где а - сторона правильного n_угольника, находящегося в основании призмы.
Все записи оформляем в таблицу [приложение 6].
Выведенная таким образом формула более понятна учащимся и сразу определяется класс задач, к которым она применима.
Обобщение как метод решения задач в «общем виде» был осуществлен при изучении темы «Многогранники» на уроке «Решение задач на призму», с целью показать, как иногда бывает более удобно решить задачу в общем виде, а потом подставить конкретные значения [Приложение 7].
Был сделан вывод, что решение задачи в общем виде и последующая подстановка числовых данных короче и производится быстрее по времени, так же яснее просматривается план решения задачи.
В результате апробации было установлено, что использование методических рекомендаций позволило повысить познавательную активность учащихся и результативность решения задач, что подтверждено рецензией учителя проводившего опытное преподавание.
Выводы по второй главе.
Таким образом обобщения при обучении решению задач являются эффективным средством поиска решения задачи и овладения общими методами решения задач.
Индуктивные обобщения при решении математических задач используются для вывода новых методов решения задач, перехода от одних методов решения задач к более общим, применимым к решению широкого класса задач. Так же индуктивные обобщения подходов к решению задачи их систематизация помогают в создании системы советов, полезных в процессе отыскания решения задачи.
Сами обобщения могут являться методом решения класса задач. При использовании обобщения как метода решения задач «по индукции» необходимо уметь выделять частные случаи. Полезно обучать школьников решению задач в общем виде, так как часто обобщенную задачу решить легче, чем конкретную задачу.
Обобщения приводят в возникновению новых задач. Необходимо проводить анализ задач и их решений, а так же обобщенных задач и их решений, при этом учащиеся могут сами составлять новые задачи, осуществляя замену части данных другими при сохранении искомых, добавляя новые заключения или обобщая искомые.
Введение понятий и теорем с помощью обобщения задач улучшает понимание вводимого знания, учащиеся сами осознают, как получили и для чего нужно новое знание, определяют его место в системе других понятий или теорем.
Обобщающие таблицы служат для проведения сравнения и анализа математических задач и их решений, при систематизации способов и методов решения задач, при составлении системы советов для поиска решения задач, при выводе понятий и обобщении материала, используемого при решении задач.
В результате проведения опытного преподавания было выявлено положительное влияние осуществления обобщений на результативность обучения школьников решению задач.
Заключение
В данной работе рассмотрены обобщения при обучении решению математических задач в курсе средней (полной) школы.
Цель работы достигнута, поставленные задачи выполнены.
В работе были рассмотрены обобщения при обучении методам решения математических задач, обобщение как метод решения математических задач, обобщение как источник новых математических задач, так же обобщения задач ведущие к формированию математических понятий и теорем.
Так же была показана роль таблиц как средства обобщения при обучении решению математических задач.
Опытное преподавание подтвердило выдвинутую гипотезу: если на уроках математики организовать процесс обучения решению задач в соответствии с предложенными методическими рекомендациями, то это позволит повысить результативность обучения школьников решению задач.
Библиографический список
1. Атанасян, Л.С. Геометрия 7-9 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. - М.: Просвещение. 1996. - 336 с.
2. Атанасян, Л.С. Геометрия 10-11 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. - М.: Просвещение. 1997. - 256 с.
3. Балк, Г.Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики [Текст] / Г.Д. Балк // Математика в школе. - 1969. - №5. - С. 21 - 28.
4. Бернштейн, М.С. Задачи на доказательство в курсе геометрии [Текст] / М.С. Бернштейн // Математика в школе. -1941. - №4. - С. 19-30.
5. Богушевский, К.С. Из писем и заметок читателей [Текст] / К.С. Богушевкий // Математика в школе. -1952. - №5. - С. 60-72.
6. Болтянский, В.Г. Анализ - поиск решения задач [Текст] / В.Г. Болтянский // Математика в школе. - 1974. - №1. - С. 34 - 40.
7. Выготский, Л.С. Избранные педагогические исследования[Текст] / Л.С. Выготский, Л.С. - М.:Изд-во АПНРСФСР, 1956. - 519 с.
8. Горский, Д.П. Краткий словарь по логике [Текст] / Д.П. Горский, А.А. Ивин, А.Л. Никифоров; Под ред. Д.П. Горского. - М.: Просвещение, 1991. - 208 с.
9. Горский, Обобщение и познание Д.П. Горский. - М.: Мысль. 1985. - 208 с.
10. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст]: кн. для учителя / Я.И. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.
11. Дорофеев, Г.В. Обобщение метода интервалов [Текст] / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 1969. - №З.-С. 39-44.
12. Зильберберг, Н.И. Урок математики [Текст]: подготовка и проведение: кн. для учителя / Н.И. Зильберберг. - М.: Просвещение; Учеб. лит., 1995. - 178 с.
13. Изаак, Д.Ф. Обобщение задач по геометрии [Текст] / Д.Ф. Изаак // Математика в школе. - 1983. - №2. - С. 55 - 57.
14. Канин, Е.С. Заключительный этап решения учебных задач [Текст] / Е.С. Канин, Ф.Ф. Нагибин // Преподавание алгебры и геометрии в школе / сост. О.А. Боковнев. - М., 1982. - С. 131-139.
15. Канин, Е.С. Учебные математические задачи [Текст]: учеб. пособие / Е.С. Канин. - Киров: Изд - во Вят. ГГУ, 2003. - 191 с.
16. Кретинин, О.С. формирование приемов обобщения и специализации в 5 классе [Текст] / О.С. Кретинин // Математика в школе. - 1972. - №2. - С. 28 - 30.
17. Кузнецова, Алгебра. 9 кл [Текст]:сборн. зад. для проведения письм. экз. по алгебре за курс осн. школы / Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова. - М.: Дрофа, 1996. - 144 с.
18. Кушнир, И.А. Об одном способе решения задач на построение [Текст] / И.А. Кушнир // Математика в школе. - 1984. - №2. - С. 22 - 25.
19. Маланюк, М.П., Гапюк, Я.Ф. Упражнения обобщающего характера в курсе алгебры 6 класса [Текст] / М.П. Маланюк, Я.Ф. Гапюк // Математика в школе. - 1984. - №2. - С. 25 - 27.
20. Малых, Е.В. Обобщения в обучении математике учащихся полной средней школы [Текст]: дисс. … канд. пед. наук. Киров. 2005.
21. Методика обобщающих повторений при обучении математике [Текст]: пособие для учителей и студентов / В.А. Далингер. - Омск: изд-во ОГПИ. 1992. - 88 с.
22. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. ин-ов / А.Я. Блох, Е.С. Канин; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение. 1985. - 336 с.
23. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов физ. - мат. фак. пед. ин-ов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. - М.: Просвещение. 1980. - 368 с.
24. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2003. - 375 с.
25. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. [Текст]: задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.
26. Мордкович, А.Г. Беседы с учителями математики [Текст]: Концептуал. методика. Рекомендации, советы, замечания. Обучение через задачи / А.Г. Мордкович. - М.: Школа-Пресс, 1995. - 272 с.
27. Островский, А.И. Геометрия помогает арифметике [Текст] / А И. Островский, Б. А Кордемский. - М: Физматгиз, 1960. -168 с.
28. Педагогика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. ин-ов / Ю.К. Бабанский, В.А. Сластенин, Н.А. Сорокин; под ред. Ю.К. Бабанского. 2 - е изд., доп. и перераб. - М.: Просвещение, 1988. - 479 с.
