Сумісність поняття включають у свій обсяг поняття, які перебувають у відношенні тотожності ( рівнозначності), підпорядкованості та часткового збігу(перерізу). У відношенні тотожності або рівнозначності перебуває поняття, які мають однаковий обсяг, але відрізняються одне від одного змістом. Це, наприклад, поняття перпендикуляра, проведеного в площині прямої, яка має той самий напрям і проходить через цю саму точку на колі. Обидва предмета мають різні ознаки, але один і той самий обсяг, бо такий перпендикуляр і така пряма збігаються.
У мові тотожні поняття називаються синонімами. У відношенні підпорядкування перебувають поняття, обсяг першого з яких повністю входить в обсяг другого тільки частково входить в обсяг першого. Перше поняття називається підпорядкованим, а друге - підпорядкованим.
Несумісні поняття -це поняття, обсяги яких зовсім не збігаються. Множини, відповідні цим поняттям, не мають спільних елементів. Зміст таких понять виключає будьяку можливість як повного, так і часткового обсягу. До несумісних належать поняття, які перебувають у відношенні співпідпорядкування, протилежнності і суперечності.
У відношенні співпідпорядкування перебувають поняття, обсяги яких входять у більш широке поняття якому вони однаковою мірою підпорядковуються. Множини співпідпорядкуваних понять не мають спільних елементів. Зміст цих понять має спільну родову ознаку але кожне з них має ще й свої власні видові ознаки.
У відношенні протилежності ( або супротивності, контрарності - від латинського слова contrarium - протилежність ) перебуває поняття, обсяги яких входять в обсяг підпорядковуючого, але повністю його не вичерпують. Зміст цих понять виключають зміст протилежного йому поняття. Між протилежними поняттями можливе третє. Прикладом понять, що перебувають у відношені протилежності, є „гострокутний трикутник” „тупокутний трикутник” (між ними можливе третє поняття - „прямокутний три кутник”, спільною родовою ознакою їх є поняття „трикутник”.
У відношенні суперечності перебувають такі два сумісні поняття, кожне з яких включає зміст іншої. Обсяги їх не збігаються і водночас вичерпують обсяг родового поняття. Між ними неможливе третє поняття. Такими поняттями будуть: „рівний”„нерівний”, „гострий”„негострий” , „ціле число”„неціле число”, „більше”„не більше” і так далі.
Поділ поняття - це логічна дія, яка полягає в мисленому поділі обсягу (роду) поняття на видові поняття, з яких відображені види предметів.
Особливим видом поділу є також кваліфікація. Тут не обмежується поділом поняття на класи, а класи поділяють на підкласи, підкласи -на ще дрібніші частини і так далі.
Логічний поділ ( утому числі і класифікація) має велике значення при вивченні будьякої науки, бо розчленовуючи обсяг поняття на окремі класи чи види, що мають і подібні, і відмінні ознаки, ми маємо можливість глибше вивчати поняття конкретної науки і зв'язки між ними.
Розглянемо означення понять
Поняття вводять за допомогою логічної операції означення.Особливу велику роль означення відіграють у математиці. Вони допомогають виділити даний предмет з множини інших об'єктів. Під означенням ми розуміємо таку логічну операцію, за допомогою якої розкривається зміст поняття. Отже, означити поняття - це перелічити всі істотні ознаки об'єктів, що входять у дане поняття. Словесне позначення поняття називається терміном. Наприклад ,
„кут”, „коло”, „переріз множини”терміни. Поняття, яке означується , називають означуваним, а те поняття чи групу понять, за допомогою яких вводиться означуване поняття , називають означуючими поняттями. Наприклад „Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні”. У цьому означенні „паралелограм” - означуюче, а „ромб” -означуване поняття.
У математиці існують різні види означень. Найпоширеніший з них - означення через найближчий рід і видову ознаку. Цей спосіб полягає в тому, що називаються, по перше, найближчий рід, до якого належить означуване поняття, і подруге, особлива ознака ( або кілька ознак) даного поняття, що характеризує його як один з видів зазначеного роду. У курсі шкільної математики існують такі означення :
„Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною в центрі цього кола” (тут „плоский кут” - родове поняття, а властивість вершини плоского кута лежати в центрі кола - видова ознака);
„Паралелограм - це чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні” -(тут „чотирикутник” родове поняття, а властивість його протилежних сторін бути паралельними видова ознака);
„Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом” (тут поняття „призма” - родове, а властивість призми мати в основі паралелограм видова ознака) та інше.
Означення через найближчий рід і видову ознаку застосовується тоді, коли відомо, що означуване поняття є поняттям про предмет, який належить до одного з видів певного роду. При такому введені понять у самому означенні не вказується спосіб виникнення означуваного об'єкта. Але окремі означення можуть розглядати предмет і за способом його утворення або виникнення . При цьому ознаки змісту поняття розглядається як зумовлені самим способом виникнення предмета. Означення такого типу називаються генетичними ( від слова „генезис”, що означає „виникнення”). Прикладами таких означень у шкільній математиці є: „Бісектрисою кута -називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут пополам”; „пірамідою називається багатогранник, утворений усіма відрізками, які сполучають дану точку - вершину піраміди - з точками плоского багатокутника - основи піраміди” та інші. Генетичні означення задають можливий спосіб утворення предмета і водночас властивості цього предмета. Окремим видом генетичних означень є індуктивні означення.
Нові математичні поняття вводять також за допомогою описування їх властивостей. Такі означення називають дескриптивними, або дескрипціями. Однією з дескрипцій числа може бути така: „ це число, яке будучи помноженим на довжину діаметра, дає довжину кола”.
Коли означення якогось поняття через рід і вид здійснити важко, то часто звертаються до такого виду означень, як означення через абстракцію.
Також означення поняття можно виконати через аксіому.Так, у шкільному курсі геометрії система аксіом дає можливість встановити співвідношення між такими основними поняттями, як „точка”, „пряма”, „площина”, і цим самим дати їм неявне означення.
Щоб поняття стало надійним інструментом пізнання, були коректними, їх означення потрібно будувати, додержуючи ряду вимог, порушення яких призводить до логічних помилок. Розглянемо ці вимоги.
1.Означення повинно бути співмірним, тобто обсяги означуваного і означуючого понять мають бути рівними між собою. Так, в означенні „квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні” обсяги означуваного поняття („квадрат”) і означуючого поняття („прямокутник, усі сторони якого рівні”) збігаються, усі квадрати є такими прямокутниками і всі такі прямокутники є квадратами. Означення, в якому вимоги співмірності не виконується, неправильне означення, тобто в ньому допущено логічну помилку. Наприклад, означення „Квадратом називається чотирикутник у якого всі сторони рівні” неправильне, бо воно неспівмірне: ромб теж рівносторонні чотирикутник. Помилковість цього означення полягає в тому, що за його допомогою не можна точно відрізнити квадрат від ромба.Таке помилкове означення, коли обсяг означуючого поняття більший від обсягу означуваного поняття називається занадто широким. Неспівмірне означення може бути й занадто вузьким. Так називається означення, коли обсяг означуючого поняття менший від обсягу означуваного поняття.
2.Означення не повинно містити в собі так званого порочного кола. Порочним колом називається такий спосіб означення, коли поняття начебто означується через інше поняття, однак це інше поняття може стати зрозумілим тільки через означуване поняття. Наприклад, якщо прямий кут означувати як кут, сторони якого взаємно перпендикулярні, а взаємно перпендикулярні
прямі - як прямі, що утворюють прямий кут, то виникнення порочного кола очевидне.
3. Означення не повинно бути лише заперечним.Заперечним називається таке означення, в якому задаються лише ознаки, що належать даному поняттю, але у книжці Евкліда „Начала” є таке означення поняття точки: „Точка це те, що не має частин”. З такого означення не можна дізнатия про істотні ознаки поняття точки. Тому це означення мало придатне для пізнання властивостей предмета. Це пояснюється тим, що точка - настільки простий і однорідний елемент простору, що доповнити його ознаками не вдається.
4. Родова ознака має вказувати на найближче ширше поняття. Напприклад, „Паралелепіпедом називається призма, основою якої є паралелограм” правильне, бо поняття „призма” є найближчим родовим поняттям щодо поняття „паралелепіпед”. Якщо б ми хотіли означити поняття „паралелепіпед” не через поняття „призма”, а через поняття „багатогранник”, то допустили б логічну помилку, бо перескочили б через поняття „призма”, яке є найближчим родовим поняттям щодо поняття „паралелепіпед”.
5. Видовою відмінністю повинна бути ознака або група істотних ознак, властивих тільки даному предметові і відсутніх в інших предметах, які належать до цього самого роду. Так, для родового поняття „трикутник” видовими поняттями є „прямокутний трикутник”, „гострокутний трикутник”, „тупокутний трикутник”. Означення „Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут” є правильним, бо відова відмінність „мати прямий кут” виконується тільки для прямокутних трикутників.
6. Означення має бути чітким і однозначним. Воно не повинно вводитися за допомогою взаємно суперечливих характеристик (типу „круглий квадрат”, „квадратне коло” і так далі).
Розглянемо формування понять за допомогою таких логічних прийомів, як порівняння, аналіз, синтез, абстрагування та узагальнення:
1. Порівнянняце логічний прийом , за допомогою якого встановлюється тотожність і відмінність ознак предметів і явищ дійсності.
2. Аналіз (розклад, розчленування) - це мисленне вичленення окремих властивостей предмета і дослідження їх як певних елементів цілого.
3. Синтез (з'єднання, складання, сполучення) - це мисленне поєднання тих частин цілого, які вичленені й вивчені впроцесі аналізу, встановлення взаємодії й взаємозв'язку їх та дослідження предмета як єдиного цілого.
4. Абстрагування (відволікання) - це мислене відволікання від ряду неістотних властивостей і зв'язків досліджуваного предмета і виділення найстотніших і найхарактерніших його ознак, зв'язвів і відношень з метою проникнення в суть цього предмета.
5. Узагальнення є продовженням і одночасно завершенням логічної дії абстрагування. Це поширення в думці загальних істотних ознак класу (множин) предметів виділених у процесі абстракції, на кожний предмет цієї множини.
1.3 Судження як другий ступінь логічних форм мислення
Окремими, ізольованими поняттями мислити неможливо. Найбільш простою, елементарною формою мислення є судження. У формі судження знаходять свій вираз знання про взаємозв'язки предметів з їхніми ознаками та взаємовідношення між ними. Судження (висловлення) - це форма мислення, в якій стверджується або заперечується щось про предмет, про певні зв'язки і відношення між предметами і явищами [10].
Судження як форма мислення істотно відрізняється від поняття. Це пов'язано з тим, що ці логічні форми по різному відображають навколишню дійсність. Якщо поняття відображає сукупність істотних ознак предмета, то судження відображають окремі відношення між предметами і їх ознаками, причому шляхом ствердження чи заперечення. Судження, таким чином, надає людській думці закінчену форму, де може бути безпосередньо виражена істинність чи хібність нашого висловлення.
Перевіркою істинності змісту конкретного судження займається та наука, до предметної області якої належить предмет цього судження. Судження бувають істинними і хибними.
Кожне судження має свою структуру (будову), яка залежить від того, що воно відображає властивості чи відношення і взаємозв'язки між предметами. Судження, в яких стверджуються (або заперечується) наявність властивості у того чи іншого предмета, називаються судженнями про належність, або атрибутивними судженнями. Наприклад, „Тетраедр - просторове тіло”. Судження, в яких відображається відношення між двома і більше предметами, називаються судженнями про відношення, або релятивними судженнями. Наприклад „”.
Праналізуємо атрибутнє судженя: „Тетраедр є пірамідою”. Атрибутнє судження складаєть з трьох елементів : поняття про предмет думки („тетраедр”), поняття про властивість предмета думки ( відповідно „піраміда”), і
зв'язки ( „є”, „не є”) , що відображають відношення між предметом і його властивостями.
Поняття про предмет думки називається суб єктом судження і позначається великою латинською літерою . Поняття про ознаки (властивості) предмета називається предикатом судження і позначаеться літерою .Зв'язка в судженні виражається словами „є” , „не є”, „суть”, „не суть” і так далі.
Треба чітко розмежовувати поняття „предмет судження” і „суб'єкт судження”. Предмет судження - це предмет дійсності, про який йдеться в судженні, але який існує незалежно від мислення людини. Суб'єкт судження - це поняття про об'єктивно існуючий предмет, який став предметом судження. Ці два поняття пов'язані між собою, але вони не тотожні. Перший існує незалежно від другого, другий визначається першим.( суб єкт) і ( предикат) називаються термінами судження.Наприклад судження про відношення „Сума кутів опуклого кутника дорівнює ”.
Релятивні судження відображають найрізномнітніші відношення між предметами об'єктивної дійсності: рівності, тотожності, протилежності, суперечності, простору, часу, розміру, кількості, якості і так далі. Властивості, притаманні окремим предметам (або множинам окремих предметів), тому їх називають одномісними предикатами. Відношення мають місце між двома, трьома і більше предметами (або множинами , що складаються з двох , трьох і так далі предметів), тому їх називають багатомісними предикатами( двомісними, тримісними).
Судження в мові виражається за допомогою речення. Речення відносно судження є його своєрідною матеріальною оболонкою, а судження, як форма відображення об єктивної дійсності, наповнює речення певним конкретним змістом. Тому якщо ми не можемо виразити якесь судження в реченні, то можна, що в нас іще не сформувалось нове судження.
Граматичною формою судження є розповідне речення. Так наприклад , речення „Об'єм кулі дорівнює ”, „Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину його бісектрис” виражають судження.
Судження і речення, як бачимо, взаємопов'язані. Однак цей зв'язок не дає підстав для ототожнення їх. Виступаючи в єдності в процесі мислення, кожне з них має свою специфіку і особливості. Поперше, судження відрізняється від речення своїм характером: судження - категрія логічна, ідеальна, а речення - категорія граматична, мовна. По - друге, судження - категорія інтернаціональна, загальнолюдська. Саме ця особливість робить можливим обмін думками між людьми різних націй. Речення природної мови - категорія національна. Воно підлягає специфічним законам граматики певної національної мови. По третє, судження за структурою завжди, тричленне: воно складається з суб'єкта, предиката і зв'язки. Якщо зв'язка явно не виражена в мові, це ще не означає, що її немає в судженні. Речення ж має невизначену кількість членів: воно може бути одночленним („Світає”, „Дощить”), двочленним („Прямі перетинаються”) і багаточленним („Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту”).
Усі судження залежно від їх структрури поділяються на дві групи: прості і складні, а в межах цих груп поділяються на окремі види.
Судження, структура яких описується формулами „” („ є ” або „ не є ” ) називаються простими судженнями. Жодна частина такого судження не є судженням, а предикат відображає ознаку, яка належить або не належить цим предметам чи виражає відношення між ними. Наприклад судження: „Циліндр - це просторове тіло”. За змістом предиката прості судження поділяються на:
1. атрибутивні (про належність)
2. релятивні (про відношення)
3. судження існування
Судження існування (або екзистенціальні судження) це судження, які стверджують, що існує певна річ, яка має певну властивість, або перебуває у певному відношенні щодо інших речей. Наприклад „Існує трикутник, що дорівнює даному”.
Судження, в якому стверджується або заперечуеться ознака за предметом, множиною ( класом) або частиною множини ( класу) предметів, незалежно від будь-яких умов, називається категоричним. Категоричні твердження поділяються на види: за якістю; за кількістю; за якістю і кількостю.
Якість судження - це відображення належності або неналежності певної властивості досліджування предмету. Формою вираження якості судження є стверджувальне або заперечне висловлення. Стверджувальним називається судження, в якому стверджується наявність ознаки у даного предмета.
Заперечним називаються судженя, в якому наявність ознаки у даного предмета заперечується. Формула заперечного судження: „не є ”, „не суть”, „ є не”, „ суть не ”.
Кількість судження визначається тією кількістю (множиною) предметів, про яку в ньому йдеться. а цією основою судження поділяються на одиничні, часткові та загальні.
Кожний предмет матеріальної дійсності може бути охарактеризований водночас і якісно, і кількісно. Категоричних суджень є чотири види: загальностверджувальні, частковостверджувальні, загальнозаперечні і частковозаперечні.
Загальностверджувальне - це судження, в якому стверджується якась ознака за множиною ( класом) предметів. Позначається воно великою літерою ( перша літера латинського слова affirmo - стверджую)
Частковостверджувальні - це судження, в якому ознака стверджується за якоюсь частиною множини ( класу) предметів. Позначається воно великою літерою ( друга голосна латинського слова affirmo - стверджую)
Загальнозаперечне це судження, в якому ознака заперечується за множиною (класом) предметів, тобто за кількістю це судження загальне, а за якістю - заперечне. Позначається великою літерою (nego -заперечую).
Частковозаперечне - це судження, в якому ознака заперечується за частиною множини ( класу предметів), тобто це судження часткове за кількістю і заперечне за якістю. Позначається воно великою літерою ( друга голосна латинського слова nego -заперечую).
1.4 Умовивід як третій ступінь логічних форм мислення
Умовивід це форма мислення, що дозволяє з одного або декількох суджень, називаних посилками, витягати за допомогою правил логіки нове судження - висновок [10].
В умовиводі розрізняють посилки висловлення, що представляють вихідне знання, і висновок висловлення, до якого ми приходимо в результаті умовиводу. У природній мові існують слова й словосполучення, що вказують як на висновок («значить», «отже», «звідси видно», «тому», «із цього можна зробити висновок» тощо), так і на посилки умовиводу («тому що», «оскільки», «тому що», «беручи до уваги, що...», «адже» тощо). Представляючи судження в деякій стандартній формі, у логіці прийнято вказувати спочатку посилки, а потім висновок, хоча в природній мові їхній порядок може бути довільним: спочатку висновок потім посилки; висновок може перебувати «між посилками».
