Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

(дипломная работа)

Т - 2004

Введение

Глава I. Определение понятия функция

§ 1.1. Краткий обзор понятия числа.

§ 1.2. История развития функции.

§ 1.3. Различные современные подходы к определению понятия «функция», графики функции.

§ 1.4. Графики функции.

§ 1.5. Основные свойства функции.

п.1.5.1. Ограниченность.

п.1.5.2. Четность, нечетность.

п.1.5.3. Монотонность.

п.1.5.4. Точки экстремума.

п.1.5.5. Непрерывность.

п.1.5.6. Периодичность.

Глава II. Понятие функции в школьном курсе.

§ 2.1. Линейная функция.

§ 2.2. Квадратичная функция.

§ 2.3. Обратная пропорциональность.

§ 2.4. Степенная функция.

§ 2.5. Показательная функция.

§ 2.6. Логарифмическая функция.

§ 2.7. Тригонометрическая функция.

Глава III. Вспомогательные приемы построения усложненных графиков.

§ 3.1. Параллельный перенос.

п.3.1.1. Сдвиг оси х-ов.

п.3.1.2. Сдвиг оси у-ов.

§ 3.2. Растяжение и сжатие графика

п.3.2.1. По оси х-ов.

п.3.2.2. По оси у-ов.

§ 3.3. Отражение.

§ 3.4. График суммы и разности двух функций.

§ 3.5. Графики произведения и частного двух функций.

Заключение

Список использованных источников и литературы

Глава I. Определение понятия функция.

§ 1.1. Краткий обзор развития понятия числа.

На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и тому подобного. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия “больше”, “меньше”, “столько же” или “равно”. Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека.

С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Ее возникновению и развитию способствовали практические потребности строительство разнообразных сооружений, торговля и мореходство. Долгое время в арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была “мириада” 10 000. Еще в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда-то Архимед (около 287-212 до н.э.) в своем трактате “Исчисление песчинок” “Псаммит” разработал систему, которая позволяла выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен.

Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день.

В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через . Ученые того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых.

Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.

Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.

Таким образом, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений математики встретились с числом, которое выражалось . Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавались за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745-1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые “мнимые числа” получили свое место в множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера (1717-1783) и Эйлера (1707-1783), которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически.

Обозначение комплексного числа а+b принадлежит Кардано (1501-1576). Эйлер стал записывать это число в виде а+bi, где i=, а i2=-1. По рекомендации ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона (1805--1865) комплексные числа стали выражать парой действительных чисел в виде (а, b). Однако и на этом развитие понятия числа не завершилось. Оно продолжает свой путь дальше.

Аксиомы натуральных чисел
Как известно, аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых, основных понятий (объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия. Вошедшая во всеобщее употребление система аксиом натуральных чисел была предложена итальянским математиком и логиком, профессором Туринского университета Джузеппе Пеано
(1858-1932) в статье «О понятии числа», опубликованной в 1891 г. Вот как формулировал Пеано свои пять аксиом:

О есть натуральное число.

Следующее за натуральным числом есть натуральное число.

О не следует ни за каким натуральным числом.

Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.

Аксиома полной индукции: если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Итак, с аксиоматической точки зрения мы имеем дело с двумя основными понятиями: «натуральные числа» (объект) и «непосредственно следует за» (соотношение). Эти понятия косвенно определяются системой аксиом.

Излагаемая в настоящее время в учебных руководствах система аксиом натуральных чисел лишь по форме несколько отличается от вышеприведенной. Натуральные числа -- это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов а и b установлено отношение «b следует за а» (число, следующее за а, обозначается а*), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:

1. Существует натуральное число 1, непосредственно не следующее ни за каким натуральным числом, т. е. для любого а имеем: а*1.

2. Для каждого натурального числа а существует одно и только одно непосредственно за ним следующее натуральное число а*, т.е. а = b а* = b*.

3. Любое натуральное число, кроме 1, непосредственно следует за одним и только одним натуральным числом, т. е. если а1, то из а*=b*а=b.

4. Аксиома индукции. Пусть М -- подмножество множества N натуральных чисел, обладающее свойствами: а) 1 принадлежит М, б) если натуральное число а принадлежит М, то а* также принадлежит М; тогда множество М содержит все натуральные числа, т.е. М совпадает с N.

То, что в первоначальной формулировке (Пеано) первый элемент есть 0, а не 1, не имеет принципиального значения. Дело в том, что в настоящее время нуль причисляется не к натуральным, а к целым числам. Символы 1, 2, 3, ..., которыми обычно обозначают натуральные числа, были выработаны, как мы уже знаем, на протяжении веков. На основе аксиом 1--4 можно определить арифметические действия и построить всю арифметику натуральных чисел чисто дедуктивным путем. В частности, на основе аксиомы 4 доказывается следующее предложение: если некоторая теорема Т, в формулировку которой входит натуральное число n, верна для n=1 и в предположении, что она верна для n, будет верна и для n+1, то Т верна для любого натурального числа. Это предложение, эквивалентное аксиоме 4, называют принципом математической индукции. На этом принципе и основан метод математической индукции, с помощью которого доказывают многие теоремы арифметики, алгебры, теории чисел и геометрии. Под индукцией (от латинского inductio -- наведение) понимают в логике одну из форм умозаключений, состоящую в выведении общего суждения относительно бесконечного множества объектов на основании изучения некоторого конечного числа частных случаев.

Возникновение и применение идеи бесконечности в древнегреческой математике

Идея бесконечности возникла еще в глубокой древности в связи с представлениями о Вселенной. В философии под бесконечностью понимают отсутствие начала и конца во времени и в пространстве. Конечное и бесконечное -- это две категории, т. е. два основных понятия, выражающие неразрывно связанные между собой противоположные стороны объективного мира. Вселенная, природа бесконечны. Бесконечная движущаяся материя существует в виде бесконечного многообразия взаимосвязанных конечных вещей. С понятием бесконечности в философии связано и математическое понятие бесконечности как одной из математических абстракций. Оно встречается уже на первых ступенях изучения арифметики, а именно когда речь идет о натуральном ряде чисел: 1, 2, 3, 4, .... В геометрии мы сталкиваемся с понятием бесконечности, когда прямая мыслится как бесконечная прямая и т. п.

Как известно, математика превратилась в дедуктивную науку в Древней Греции, где ее развитие протекало в сотрудничестве с философией. Уже в VI в. до н. э. греческие философы разрабатывали проблему бесконечности и связанную с ней проблему непрерывного и дискретного. Этими проблемами занимались представители милетской школы Анаксимандр (около 610--546 гг. до н. э.) в своем произведении «Апейрон» («Беспредельное»), Анаксимен (около 588гг. до н. э.) в сочинении «О природе». Такое же заглавие выбрал для одного из своих сочинений Анаксагор (около 500--428 гг. до н. э.), в котором он понятие бесконечности положил в основу своего мировоззрения. Анаксагор писал: «Среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно». Эту мысль он дополнил, написав, что «всегда имеется нечто большее, чем то, что большое». Вот почему историки математики считают, что Анаксагор впервые ввел в математику понятие потенциально бесконечно малого и бесконечно большого, а это оказалось весьма существенным для дальнейшего развития математики. Но если Анаксагор и другие математики приписывали пространству только непрерывные свойства, то другие ученые создали представление о пространстве как о множестве точек, являющихся неделимыми элементами. Последняя концепция отвечала, в частности, духу школы Пифагора, в которой развивалось учение о дискретных (т. е. прерывных) объектах, а именно о числах. Пифагорейцы долгое время считали возможным распространить свое учение о целочисленной основе всего существующего и на геометрические величины. Открытие несоизмеримости, которое явно показало различие между дискретной природой (рациональных) чисел и непрерывной природой геометрических величин, привело, как известно, к большим трудностям, связанным с понятием бесконечности, к настоящему кризису в обосновании математики.

С точки зрения диалектического материализма в объективном реальном мире дискретное и непрерывное, движение и покой находятся в диалектическом единстве. Но нельзя отобразить движение, не остановив его, т.е. не прибегая к покою -- его противоположности.

В настоящее время в основе изучения геометрии и математического анализа лежит понятие о вещественном числе. Множество вещественных чисел, как и множество точек прямой, обладает свойством непрерывности. Вещественным числом можно выразить отношение двух любых однородных величин. Однако, как известно, расширение понятия числа до вещественного и обоснование соответствующей теории были завершены только в XIX в.. Греки же, которые при открытии несоизмеримости имели представление лишь о дискретном множестве чисел (натуральных и в лучшем случае положительных рациональных), пошли в V--VI вв. по пути геометризации арифметики и строили общую теорию отношений, аналогичную нашей теории вещественных чисел, применяя ее к учению о подобии, к вопросам измерения площадей и объемов и вообще к исследованию непрерывных величин.

Изложим вкратце суть евдоксовой общей теории отношений (величин), содержащейся в V книге «Начал» Евклида (конец IV - III в. до н. э.). Величины здесь изображены отрезками, причем предполагается, что для любой пары величин найдется соответствующая пара отрезков а, b так, что отношение величин будет равно отношению отрезков а:b. В самом начале V книги вводится так называемая аксиома Архимеда, которую правильнее было бы называть аксиомой Евдокса (около 408 - около 355 до н. э.), или аксиомой Евдокса -- Архимеда. Две однородные величины могут находиться в математическом отношении, только если на них распространяется эта аксиома которая является одной из аксиом непрерывности.

Равенство отношений определяется следующим образом: величины А, В имеют то же отношение, что и величины С, D, если для любой пары натуральных чисел тип выполняется какое-либо из следующих трех условий:

1) тА<пВ и тС<пD;

2) тА = пВ и тС = пD;

3) тА>пВ и тC>пD.

Современной операции умножения вещественных чисел у Евдокса соответствует составление отношений. «Составить» пару отношений А:В и В:С -- значит найти отношение А:С, «составленное». Чтобы составить произвольные два отношения а:b и с:d, требуется предварительно найти отношение b:x, равное с:d, что осуществляется путем построения к любым трем отрезкам с, d, b четвертого пропорционального отрезка x. В V книге устанавливаются основные свойства отношений и их составления. Вышеприведенное определение отношений было, вероятно, подсказано Евдоксу как свойствами отношений соизмеримых величин, так и рассмотрением процесса измерения непрерывных геометрических величин. Целесообразность этого определения, конечно, можно проверить на разных примерах. О том, что некоторые математики неправильно его понимали, свидетельствует случай с французским ученым XVI в. П. Рамусом. Последний, возражавший против определения равенства отношений Евдокса, ссылался на следующий пример. Для чисел 4; 3 и 5; 4, т=6, п=9 имеет место неравенство

6·4<9·3 и 6·5<9·4,

но вместе с этим отношение 4:3 не равно отношению 5:4. Рамус не учел, что речь идет не об определенной одной паре или о конечном числе пар натуральных чисел т, п, а о произвольной паре. Достаточно в данном случае взять т=6, п=8, чтобы получить:

6·4=8·3,

в то время как 6·5<8·4.

Именно тот факт, что равенство отношений определяется Евдоксом с помощью бесконечного множества неравенств типа 1) или 3), вызывал много трудностей для понимания его теории, предвосхитившей теорию вещественных чисел Дедекинда (1831-1916). И метод исчерпывания Евдокса основывается на идее неограниченного приближения к некоторой величине с помощью последовательности неограниченного числа значений других величин и на основе безграничного деления любой величины на части, меньшие любых наперед заданных величин, т. е. в конечном итоге на идее потенциальной бесконечности, на которой базируется и метод пределов, которым пользуемся и мы. С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с тем же основанием и высотой и другие предложения.

В итоге можно сказать, что идея бесконечности возникла и применялась в древнегреческой математике главным образом в связи с развитием арифметики и теории чисел (натуральный ряд, бесконечное множество простых чисел и др.), с открытием несоизмеримости и с вопросами измерения и исследования свойств геометрических фигур, рассматриваемых как непрерывные.

Понятие бесконечности развивалось в математике в тесной связи с решением конкретных математических задач и соответствующей разработкой математических методов (общая теория отношений, квадратура круга, метод исчерпывания и др.).

Широко использовал бесконечность в своих исследованиях и Архимед.

§1.2. История развития понятия функции.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века).

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых, математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5 тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.)

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650); они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

В соцсетях