если logax1=logax2, где a>0, a1, x1>0, x2>0 то x1=x2.
В учебнике Колмогорова логарифмическая функция вводится 11 классе. Логарифмическая функция, как и показательная, не может впервые вводится с помощью формулы (как это делается в учебнике Алимова). Причина этого в том, что в курсе алгебры еще не введено понятие логарифма числа. Поэтому функция вводит, как обратную к показательной функции f(x)=ax , хR. Основные свойства логарифмической функции вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. (Причем у Алимова понятие обратной функции вводится после введения логарифмической функции.) В отличии от учебника Алимова у Колмогорова не сформулировано свойство о положительных и отрицательных значениях х.
В учебнике Мордковича понятие логарифма в §48 вводится при помощи графических соображений. Предлагается одновременно рассмотреть две функции и . Делается наблюдение, что данные графики симметричны относительно прямой у=х. После чего дается определение логарифмической кривой.
При формулировке свойств рассматривается два случая, когда основание больше 1 и когда основание больше нуля, но меньше единицы. Кроме тех свойств, которые перечислены в учебниках Алимова и Мордковича здесь рассматриваются свойства выпуклости, непрерывности, ограниченности, четности, наибольшего или наименьшего занчения.
§2.7. Тригонометрические функции.
В 11 классе в учебнике Алимова изучаются свойства и графики функций y=cosx, y=sinx, y=tgx. Обратные тригонометрические функции.
Основная цель - изучить свойства тригонометрических функций, научить учащихся строить их графики.
Первой тригонометрической функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится функция y=cosx, в §19.
Изучение данных функций начинается с повторения определения синуса, косинуса и тангенса произвольного угла которые были введены в 9 классе.
Так как функция y=cosx периодична с периодом 2, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке длиной 2. Кроме того достаточно построить ее график на отрезке 0х, а затем симметрично отразить относительно оси Оу. Прежде чем перейти к построению графика, доказывается, что функция y=cosx убывает на отрезке 0х. Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на этом отрезке и распространении его на всю числовую прямую.
После построения формулируются основные свойства функции y=cosx.
В §20 вводится функция y=sinx. Для построения функции используют формулу:
.
Эта формула показывает, что график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на
Затем формулируются свойства функции y=sinx.
В §21 изучается функция y=tgx.
Построение графика функции тангенс, как и косинус, начинается с исследования. Сначала график строится на промежутке , а затем распространяется на всю числовую прямую. Для этого доказывается, что функция y=tgx возрастает на промежутке . Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на всю числовую прямую.
После чего формулируются свойства функции y=tgx.
В учебнике Колмогорова все тригонометрические функции вводятся в одном параграфе, который начинается с основных тригонометрических определений. Данные определения не являются новыми для учеников - это повторение материала 9 класса. После этого происходит построение графика функции y=sinx по точкам с использованием свойств периодичности и единичной окружности.
По графику демонстрируются свойства данной функции: ее область определения, область значения, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки постоянных знаков функции. Аналогично рассматриваются свойства функции y=cosx и y=tgx и на графиках этих функций демонстрируются их свойства.
В 9 классе в учебнике Мордковича предлагаются элементы теории тригонометрических функций. Эта глава рассматривается, как дополнительный материал. Весь этот материал повторен и расширен в курсе алгебры и начала анализа в 10-11 классе.
В начале 10 класса учащиеся подробно изучают данный материал. На изучение данного материала отводится 15 параграфов, а по времени - 18 часов.
В §1 и в §2 учащиеся знакомятся с числовой окружностью и с определением тригонометрических функций. Автор выделяет числовую окружность в качестве самостоятельного объекта изучения. Школьникам напоминается материал о вычислении длин дуг окружностей.
Числовая окружность на плоскости рассматривается в §3.
Для изучения числовой окружности автор предлагает игровые моменты.
Изучение самих функций начинается только с 9 параграфа. Перед этим вводятся определения синуса, косинуса , тангенса и котангенса. Первой функцией предлагается y=sinx. Параграф начинается с формулирования свойств функции. После чего предлагается построить график данной функции на отрезке [0; . Затем добавляют к построенному графику симметричную ему относительно начала координат линию. Получили график на отрезке [; . Далее предлагается построить график функции на отрезке [; 3. В результате получили то же самое, что и на отрезке [; .
В следующем параграфе предлагается к рассмотрению функцию y=cosx. Ее график получается из графика функции y=sinx сдвигом на в лево. После чего рассматриваются свойства функции.
В §15 учащимся предлагается функция y=tgx и y=сtgx. Отмечаются их свойства. Графики строятся так же как в учебниках Алимова.
Глава III. Вспомогательные приемы построения усложненных графиков.
Известно, что методы высшей математики позволяют строить любой график. Однако знаний тех элементов высшей математики, которые даются в средней школе, для этой цели недостаточно. С другой стороны, большое количество графиков, иногда весьма интересных может быть построено средствами исключительно элементарной математики. Наиболее трудные из этих графиков требуют для своего построения хорошего знания многих разделов элементарной математики, а подчас и остроумного применения этих знаний. Построение графиков средствами элементарной математики может служить материалом для закрепления и усовершенствования учениками и абитуриентами своих знаний по многим важным разделам элементарной математики.
§3.1. Параллельный перенос.
п 3.1.1 Сдвиг оси х-ов.
Разобьем этот прием на примере построения графика функцииГрафик этой функции можно построить, пользуясь общими приемами: 1) область существования: (-;), т.е. вся числовая ось; 2) область изменения функции - полуоткрытый интервал 1у;3) функция четная;4) при х=0 у=1, т.е. кривая пересекает ось у-ов в точке (0;1); в этой точке функция имеет минимум, так как х2 =0, откуда у1; Рис.13. Рис.14.5) контрольная точка: при х=2 у=4+1=5; точка (2; 5).По этим данным график функции построен на рис. 13.Тот же график можно построить проще, воспользовавшись уже известным нам графиком функции у=х2. Для этого наносим штриховой линией график функции у=х2 (рис. 14), назовем его исходным графиком.Сравнивая графики функций у=х2+1 и у=х2, видим, что ординаты у графика заданной функции на 1 больше ординат исходного графика. Следовательно, исходный график надо перенести на 1 вверх, как это и сделано на рисунке 14.График функции у=х2+1 можно построить еще проще, если воспользоваться тем же исходным графиком (y=x2), но вместо перенесения всей кривой вверх на 1 перенести ось х-ов на ту же 1 вниз, как показано на рисунке 15. Тем самым относительно новой оси х-ов все ординаты кривой у=х2 увеличиваются на 1 и получается график заданной функции у=х2+1.Следовательно, график функции y=f(x)+b, где f(x) - простейшая функция, график которой нам известен, можно построить следующим простейшим приемом (рис. 15).Строится известный нам график функции у=f(х), причем горизонтальная ось вычерчивается штриховой линией. Затем она сдвигается на (-b). Это и есть истинная ось х-ов; первоначальную же горизонтальную ось, нанесенную штриховой линией, можно стереть.Например, для построения графика функции у=f(x)+3 горизонтальная штриховая ось графика функции у=f(x) сдвигается на 3 единицы вниз, т. е. на (-3); для построения графика функции y=f(x)-3 горизонтальная штриховая ось сдвигается на (+3), т. е. на 3 единицы вверх.п 3.1.2. Сдвиг оси у-oвРазберем этот прием на примере построения графика функцииy=(x+1)2.Общий метод построения графика:область существования -- вся числовая ось;область изменения функции - полуоткрытый интервал 0у<;функция не обладает свойствами четности и нечетности;при у=0 (х+1)2=0, или х+1=0, откуда х=-1, т. е. кривая пересекает ось х-ов в точке (-1; 0);при х=0 у=1, т. е. кривая пересекает ось у-ов в точке (0; 1);контрольные точки:x=2; у=(2+1)2=9; точка (2; 9);x=-3; у=(-3+1)2=4; точка (-3; 4).По этим данным график функции построен на рисунке 17.Другой способ построения графика функции у=(х+1)2 показан на рисунке 18.Вначале строится (штриховой лини ей) график исходной функции y=х2.Далее замечаем, что каждая ордината графика функции y=(х+1)2 равна той ординате исходного графика, которая соответствует абсциссе х+1, т.е. на 1 большей, нежели действительная абсцисса исходного графика.Например, при х=1 у=(х+1)2=22=4, т. е. при х=1 надо отложить по оси у-ов не 12, а 22=4, т. е. (1+l)2. Эта ордината точки А исходного графика соответствует абсциссе х=2, а для графика заданной функции она соответствует абсциссе х=1, следовательно, точку А надо сдвинуть по оси х-ов на (-1), в точку А1. Таким же образом и в с е точки исходного графика должны быть сдвинуты по оси х-ов на (-1), т. е. весь график исходной функция должен быть сдвинут влево на 1, что сделано на рисунке 18.Проще вместо перенесения всей кривой на 1 влево сдвинуть ось у-ов на 1 вправо, как это показано на рисунке 19.Таким образом, график функции y=f(x+a), где f(x)- простейшая функция, график которой нам известен, строится так (рис. 20).Наносится график функции у=f(x), причем вертикальная ось у-ов вычерчивается штриховой линией. Затем эта вертикальная ось сдвигается на (+а). Это и будет истинная ось у-ов; первоначальную вертикальную ось можно затем стереть.Рис 19 Рис 20
Например, для построения графика функции y=f(x+3) вертикальная ось графика функции f(x) сдвигается на 3 единицы вправо, т. е. на (+3); для построения графика функции y=f(x-3) вертикальная ось сдвигается на 3 единицы влево, т. е. на (-3).
Примечание. 1. Необходимо иметь в виду, что сдвиг оси у-ов надо производить на величину «добавка» к положительному значению аргумента х, так что если задана функция y = f(-х+а), то ее надо сначала преобразовать в функцию y=f[-(х-а)] и принять за исходную функцию
f(-х), а затем сдвинуть ось у-ов на (-а), т. е. на добавок к (+x).
Пример. у=(-х+1)2.
Преобразуем: у=[-(x-l)]2=(x-1)2.
Приняв за исходную функцию у=х2, как и при построении графика функции у=(х+1)2 (рис. 19), сдвигаем ось у-ов на (-1), т. е. на добавок к (+х) (рис. 21), а не на (+1), как на рисунке 19.
Для построения графика функции у=(-х+1)3 следует, преобразовав ее в функцию у=[-(х-1)]3, принять за исходный график заданной функции у=(-х)3=-х3 и сдвинуть ось у-ов на (-1).
Примечание 2. Если требуется построить график функции у=f(x+а)+b (рис. 22), то сначала строится график функции у=f(х), причем обе оси наносятся штриховыми линиями. Затем горизонтальная ось сдвигается на (-b), т.е. в сторону, обратную знаку добавка к функции, вертикальная ось сдвигается на (+а), т.е. в сторону знака добавка к аргументу.
Если имеется добавок только к функции или только к аргументу, то при построении исходного графика можно также обе оси координат нанести штриховыми линиями; затем одну из них сдвинуть, а другую обвести сплошной линией.
Рис. 21. Рис. 22.
§ 3.2. Растяжение и сжатие графика.
п.3.2.1. По оси х-ов.
Этот прием чаще применяется при построении графиков тригонометрических функций. Поэтому разберем его на двух примерах графиков тригонометрических функций.
1-й пример (на растяжение).
y=sinх
Общий метод построения графика:
область существования - вся числовая ось;
область изменения функции: -1у1;
функция нечетная, периодическая; период функции найдем из равенства
sin=sin(+2)=sin(); =4.
Следовательно, достаточно построить часть графика для половины периода 0х2;
4) характерные точки:
а) при у=0 sinх=0, откуда х=, или х=, т.е. кривая пересекает ось х-ов в точках (0; 0) и (2; 0);
б) максимум функции равен 1 при х=, т.е. при х=.
По этим данным на рисунке 23 построен график заданной функции; сначала график строился для положительного полупериода (утолщенная часть графика), затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду, построена косо симметричная кривая (тонкая линия) и, наконец, на остальном протяжении кривая изображена штриховой линией.
График функции y=sinx можно построить проще, приняв за исходный известный нам график функции y=sinx, нанесенный штриховой
линией на рисунке 24. Замечаем, что период исходной функции y=sinx 0=2, а период заданной функции y=sinx =4,
Рис. 23
т. е. вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, график, который требуется построить, получится из исходного графика (штрихового, на рисунке 24) путем растяжения его по оси х-ов вдвое.
Рис. 24
2-й пример (на сжатие).
y=sin3x.
Общий метод построения графика тот же, что и в примере первом:
1-й и 2-й пункты исследования те же;
3) период функции находится из равенства
sin3x=sin(3x+2)=sin3(x+),
откуда период =, полупериод ;
4) характерные точки:
а) при у=0 sin3x=0, откуда 3х=, х=, т. е. кривая пересекает ось
х-ов в точках (0; 0) и (; 0);
б) максимум функции равен 1 при 3х=, т.е. при х=.
По этим данным график построен на рисунке 25 в той же последовательности, как и предыдущий график.
Рис. 25.
График функции у=sin3x проще построить методом сжатия по ocи x-ов исходного графика y=sinx в 3 раза (рис. 26), так как период ; заданной функции в 3 раза меньше периода 2 исходной функции.
Рис. 26.
Таким образом, график функции y=f(nx), если известен график функции y=f(x), с строится посредством сжатия по оси х-ов этого исходного графика пропорционально коэффициенту п при аргументе, а именно:
если п>1, то сжатие в п раз;
если 0<п<1, то растяжение в раз.
п.3.2.2 По оси у-ов
1-й пример (на растяжение).
у=2sinx.
Строить этот график методом полного исследования функции нецелесообразно. Отчетливо видно, что ординаты графика в 2 раза больше ординат исходного трафика y=sinx. Поэтому график заданной функции строится путем удвоения всех ординат исходного графика, т.е. путем растяжения исходного графика по оси у-ов 2 раза (рис. 27).
2-й пример (на сжатие).
у=sinх.
По тем же соображениям этот график строится способом уменьшения всех ординат исходного графика в 3 раза, т. е. сжатием исходного графика по оси у-ов в 3 раза, что сделано на том же рисунке 27.
Рис. 86.
Таким образом, график функции y=mf(x), если известен график y=f(x), строится посредством растяжения по оси у-ов исходного графика пропорционально коэффициенту т при функции, а именно:
если т>1, то растяжение в т раз;
если 0<т<1, то сжатие в раз.
Примечание 1. Если требуется построить график функции y=mf(nx), то сначала строится штриховой линией график исходной функции у=f(х), а затем этот исходный график сжимается по оси х-ов в п раз и растягивается по оси у-ов в т раз.
