Заметим, что при любом х0 значения функций (2) и (3) совпадают. Тем не менее (2) и (3)--различные функции, так как их области определения не совпадают.
Пример 8. Найти области определения функций (5),
Решение. Функция (5) определена для всех значений аргумента, кроме х=-2. Таким образом, область определения этой функции получается выкалыванием из числовой оси точки х=-2; иначе говоря, эта область определения является объединением двух бесконечных интервалов (-, -2) и (-2, ).
Область определения функции (6) состоит из всех точек, для которых подкоренное выражение неотрицательно, т.е. эта область определения задается неравенством 1+х0, или х-1. Иначе говоря, область определения функции (6) представляет собой бесконечный полуинтервал [-1,). Концевая точка х=-1 этого полуинтервала принадлежит области определения .
Наконец, область определения функции (7) состоит из всех значений х, для которых подкоренное выражение в правой части равенства (7) неотрицательно. Но если это подкоренное выражение отлично от нуля, то оно непременно отрицательно. Значит, область определения функции (7) состоит лишь из тех точек х, для которых подкоренное выражение обращается в нуль. Это будет при х=-5, х=-1 и х=2. Таким образом, область определения функции (7) состоит лишь из трех точек: -5, -1 и 2.
Пример 9. Найти область определения функции где f(х)= и g(x)=.
Решение. Первое слагаемое f(х) определено при выполнении двух условий: 1) подкоренное выражение
Область определения функции f(x)
0 1 2
Область определения функции g(x),
0
Область определения функции f(x)+g(x).
0 1 2
Рис. 1.
неотрицательно, 2) знаменатель не обращается в нуль. Первое условие означает, что x второе условие означает, что х2. Таким образом, область определения функции f(х) представляет собой объединение полуинтервала [1,2) и бесконечного интервала (2,). Далее, второе слагаемое g(x) определено при 5-x20, т.е. при -х. Иначе говоря, областью определения функции g(x) является отрезок [-,+].
Но для того, чтобы некоторая точка х=а принадлежала области определения функции у=f(х)+g(х), необходимо и достаточно, чтобы при х=а была определена и функция f(х), и функция g(х). Иными словами, область определения функции у=f(х)+g(х) представляет собой пересечение областей определения функций f(х) и g(х). Следовательно (рис. 1), область определения функции у=f(х)+g(х) представляет собой объединение полуинтервалов [1, 2) и (2, ].
§ 3.4. График функции.
Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат - значения функции у=f(х). Графиком функции у=f(х) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции y=f(x).
Другими словами, график функции у=f(х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y=f(x).
Рис. 3.
Рис. 2.
На рис. 2 и 3 приведены графики функций у=2x+1 и у=х2-2х.
Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его куска, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».
С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х=а принадлежит области определения функции y=f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х=а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой x=а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции у=f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 4). Например, для функции f(х)=х2-2х
Рис. 4.
с помощью графика (рис. 3) находим f(-1)=3, f(0)=0, f(1)=-1, f(2)=0 и т.д.
График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 3 ясно, что функция y=х2-2х принимает положительные значения при х<0 и при x>2, отрицательные - при 0<х<2; наименьшее значение функция у=х2-2х принимает при х=1.
Для построения графика функции f(х) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению у=f(х). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, x1, х2, ..., хk - и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции. Таблица выглядит следующим образом:
x | x1 | x2 | … | xk | |
y | f(x1) | f(x2) | … | f(xk) |
Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции у=f(х). Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y=f(x).
Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле, поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.
Пример 10. Для построения графика функции y=f(х) некто составил таблицу значений аргумента и функции:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |
y | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Соответствующие пять точек показаны на рис. 5. На основании расположения этих точек он сделал вывод,
Рис. 5.
что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 5 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. Простой пример иллюстрирует сказанное. Рассмотрим функцию
.
Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 6). Другим примером может служить функция y=x+1+sinx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.
Этот пример показывает, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен.
Рис. 6.
Поэтому для построения графика заданной функции, как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.
Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим в §4, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.
§ 1.5. Основные свойства функции п.1.5.1. ограниченность
Теперь мы должны ознакомиться со свойством функций, которое является интегральным, т. е. может быть определено сразу для любого множества значений независимой переменной, не нуждаясь в предварительном определении для отдельных её значений (в отдельных точках). Функция у=f(х) называется ограниченной на множестве M, если все значения, принимаемые ею на этом множестве, принадлежат некоторому отрезку; очевидно, вместо этого мы можем предъявить и совершенно равносильное требование: существует такое положительное число с, что f(х)<с для всех хМ. Более детально, мы называем функцию у ограниченной сверху (снизу) на М, если существует такое число с, что f(х)<с (f(х)>с) для всех хМ. Функция просто ограниченная должна быть для этого, очевидно, ограничена как сверху, так и снизу.
Число с, о котором говорится в определении ограниченности, выбирается сразу для всего множества М. В каждой отдельной точке этого множества, если функция в ней определена, такое число с существует тривиальным образом: для точки х достаточно положить, например, с=|f(x)|+1. Но функция, определённая, например, в каждой точке некоторого отрезка, может быть и неограниченной в этом отрезке; чтобы в этом убедиться, вспомним, что tgх возрастает безгранично при х-0, так что функция
не ограничена в отрезке [0, ].
Как для многих интегральных свойств, можно, однако, и для ограниченности функции на данном отрезке указать такое локальное свойство, выполнение которого в каждой точке данного отрезка равносильно выполнению рассматриваемого интегрального свойства. Условимся называть функцию у ограниченной в точке х, если она ограничена в некоторой окрестности U числа х. Мы можем теперь утверждать, что для ограниченности функции у=f(х) на отрезке [а, b] (закрытом) необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена в каждой точке этого отрезка. Необходимость этого условия вытекает из самих определений и не нуждается в доказательстве; чтобы, показать его достаточность, допустим, что каждое число х отрезка [а, b] может быть окружено окрестностью Ux, в которой функция у ограничена: применяя лемму Гейне-Бореля, мы находим, что отрезок [а, b] покрывается конечным числом отрезков = 1, 2, ..., n) в каждом из которых у ограничена. Если |у|<Сi в отрезке i (i=1, 2, ..., п) и если с есть наибольшее из чисел с1, с2, ..., сn, то |у|<с для всех х[а, b], чем наше утверждение и доказано.
Условимся называть множество чисел N ограниченным, если все входящие в него числа могут быть заключены в некоторый отрезок. Очевидно, что ограниченность функции у=f(х) на множестве М равносильна ограниченности множества N значений, принимаемых этой функцией, когда величина х «пробегает» множество М, т. е. принимает всевозможные значения, принадлежащие этому множеству. Само собою ясно, что означают термины «множество N ограничено сверху (или справа)» и «множество N ограничено снизу (или слева)».
Условимся называть число верхней гранью множества N, если: 1) множество N не содержит чисел, больших, чем , и 2) в любой окрестности числа найдётся число, принадлежащее этому множеству. Подобным же образом нижней гранью множества N мы назовём такое число , что: 1) в множестве N нет чисел, меньших, чем , и 2) в любой окрестности числа найдётся число, принадлежащее множеству N. Очевидно, что множество, имеющее верхнюю (нижнюю) грань, ограничено сверху (снизу).
Пример 14. Доказать, что функция f(х)= не является ограниченной сверху.
Решение. Нужно доказать, что для любого числа b существует (хотя бы одно) значение х из области определения функции, для которого f(x)b, т.е. b.
Область определения функции представляет собой объединение двух бесконечных интервалов (-, 1) и (1,). Очевидно, что если b, то неравенство b выполняется, например, при х=0. Если же b>0, то неравенство b в области определения функции равносильно неравенству |х-1|,которое выполняется, например, при х=1+, что и требовалось доказать.
п.1.4.2. четность, нечетность
Функция у=f(х) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами: 1) область определения этой функции симметрична относительно точки 0 (т.е. если точка а принадлежит области определения, то точка -а также принадлежит области определения); 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x).
Функция у=f(х) называется нечетной, если:
область определения этой функции симметрична относительно точки 0;
2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=-f(-x).
Без труда проверяется, что функция y=|х| является четной. Точно так же функция у=х2n четна, а функция у=x2n+1 нечетна (при любом целом п). Без труда проверяется также, что сумма, разность, произведение и частное двух четных функций снова являются четными функциями. Далее, сумма и разность двух нечетных функций являются нечетными функциями. Наконец, произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями, а произведение и частное четной и нечетной функций являются нечетными функциями
Из сказанного следует, например, что многочлен, у которого все показатели четны, является четной функцией, а многочлен, у которого все показатели нечетны, является нечетной функцией. Так, функция y=х4+2х2-1 четна, а функция х3-х5 нечетна.
Не следует думать, что всякая функция непременно является или четной или нечетной: существуют функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными.
Пример 15. Доказать, что функция f(х)=2х+1 не является ни четной, ни нечетной.
Решение. Областью определения этой функции является вся числовая ось, т. е. условие 1) в определении четной и нечетной функций выполнено. Чтобы доказать, что функция f(х), не является четной, мы должны поэтому доказать, что условие 2) в определении четной функции не выполнено, т. е. что существует (хотя бы одно) значение х, для которого f(x)f(-x). Возьмем x=1. Тогда f(1)=3, f(-1)=-1, т.е. f(1)f(-1). Таким образом, функция f(х) не является четной. Аналогично, так как f(1)-f(-1), то функция f(x)=2x+1 не является нечетной.
Четность или нечетность функции весьма существенно сказывается на форме графика этой функции. Именно, имеют место следующие две теоремы:
Теорема. График четной функции симметричен относительно оси у.
Доказательство. Пусть точка (x0; y0) принадлежит графику четной функции у=f(х), т.е. у0=f(х0). Точка, симметричная с точкой у=f(х) относительно оси у, имеет координаты (-х0; у0). Надо доказать, что точка (-x0; y0) принадлежит графику функции у=f(х), т.е. доказать, что y0 =f(-х0). Но это следует из определения четной функции: f(-х0)=f(х0)=y0.
Теорема. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Замечание. Из этих теорем следует, что для построения графика четной функции достаточно построить часть графика этой функции для х, а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно оси у, т.е. для каждой точки графика с абсциссой х>0 построить точку, симметричную ей относительно оси у. В частности, таким способом можно построить график функции y=f(|x|), так как функция f(|x|) является четной. Для построения графика нечетной функции достаточно построить часть графика этой функции для х, а затем построенную часть графика симметрично отразить относительно точки (0; 0), т.е. для каждой точки графика с абсциссой х>0 построить точку, симметричную ей относительно начала координат. (Заметим, что для осуществления симметрии некоторой кривой относительно начала координат можно поступить следующим образом: сначала данную кривую К симметрично отразить относительно оси ординат, а затем полученную кривую К' симметрично отразить относительно оси абсцисс, рис. 10)
