§3.3. Отражение.
График функции y=-f(x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси х (рис. 28)
График функции y=f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси у (рис. 29)
Рис. 28. Рис. 29.
1. Построить график функции если дан график функции y=f(x).(рис. 30, а)
Рис. 30
Последовательно строим сначала графики функций у=2f(x),
у=-2f(x), у=-2f(-x) (рис 30, а), а затем графики функции и (рис. 30, б)
Рис. 30
§3.4. График суммы и разности двух функций.
Наиболее общий метод построения графиков суммы или разности двух функций заключается в том, что предварительно строятся (штриховыми линиями) два графика для обеих функций, входящих в сумму или разность, затем складываются или вычитаются ординаты этих кривых в характерных точках (пересечение кривых с осями координат, максимумы и минимумы, точки перегиба кривых и т.д.). По полученным точкам строится искомый график и производится проверка несколькими контрольными точками.
Если график суммарной функции имеет экстремум (максимум или минимум), то нахождение точки экстремума средствами элементарной математики возможно только при наличии каких-либо специальных средств заданной функции.
Упрощающие приемы построения графиков суммы и разности функций:
а) Если дана сумма функций, то строится график одной из них, более простой (например, линейной функции); затем к ней пристраивается график второй функции, ординаты которых откладываются от соответствующих точек первого графика.
б) Если задана разность функций, то строится (штриховой линией) график уменьшаемой функции и от нее откладываются ординаты вычитаемой функции, взятые с обратным знаком. Иногда удобно вычертить (штриховой линией) график вычитаемой функции с обратным знаком и ординаты обеих кривых (уменьшаемой функции и вычитаемой с обратным знаком) сложить.
в) Сумма или разность двух функций преобразовывается в одну функцию, если это возможно и если вычерчивание графика такой функции проще.
г) Построение графика алгебраической суммы функций упрощается, если использовать свойства четности, нечетности, периодичности и т.д.
Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие как общий прием, так и упомянутые упрощающие приемы построения графиков суммы и разности двух функций.
1. у=х-sinx (рис. 31).
Рис. 31.
Имеем две функции: y1=x и у2=-sinx.
Строим график первой функции, затем от него (а не от оси х-ов) откладываем ординаты второй функции. Для облегчения построения параллельно прямой у1=х проведены две вспомогательные прямые: у=х+1 и у=x-1 На этих прямых находятся вершины синусоиды.
2. y=x+tgx (рис. 32).
Построение аналогично построению предыдущего графика.
3. y=x+lgx (рис. 33).
Строится прямая y1=x.
Характерные точки графика:
при х=1 y1=l; y=l+lgl=l; точка А(1;1);
при х=10 y1=10; y=10+lgl0=ll; точка В(10;11).
Из чертежа можно видеть, что область существования заданной функции (0; ), т. е. та же, что и для второго слагаемого у2=lgx.
4. у=х-arcsinx (рис. 34).
Заданная функция нечетная, так как
(-х)-arcsin(-х)=-х+arcsin х=-(x- arcsin x).
Поэтому построение можно выполнить только для правой части графика (при х 0).
Строим два вспомогательных графика:
y1=x и у2=arcsinx.
Ординаты искомого графика представляют собой разность: у1-у2. Характерные точки:
1) х=0, у1=0; у2=0; у=0; точка (0; 0);
рис. 33
2) х=1 (граничная точка), у1=1, y2=arcsin1=, у=-1-0,57; точка (1;-0,57);
3) х=0,5, у1=0,5, у2=arcsin0,5=0,52;
у=-0,02; точка (0,5;-0,02).
Левая часть графика построена косо симметрично правой.
Из рисунка видно, что область существования заданной функции та же, что для
Рис. 34 второго слагаемого, т. е. для функции y2=arcsinх - сегмент [-1; 1].
5. y=arcctgx-x (рис. 35).
Строим вспомогательные графики:
у1=arcctgх и у2=-х.
Ординаты обоих графиков складываются. Замечаем, что прямая у2=-х является асимптотой заданной кривой. Вторая асимптота
Рис. 35
имеет уравнение: у3=-х. Характерная точка: при х=0 y=arcctg0=; точка (0; ). Далее, =+?=?.
6. y=sin(arcsinx)-х (рис. 36).
Рис. 36. Рис. 37.
Область существования [-1; 1] заданной функции совпадает с областью существования функции y1=sin(arcsinx). В этой области y1=sin(arcsinx)=x, также и у2=х.
Следовательно, у=у1-у2=0
Рис. 38.
График функции - отрезок оси х-ов в пределах [-1; +1].
7. y=х-ctg(arcctgх) (рис. 37).
Рис. 39.
Область существования заданной функции -- вся числовая ось х-ов (-?; ?).
у1=х;
y2=ctg(arcctgх)=х;
у=у1+у2=х+х=2х.
График функции -- прямая, проходящая через начало координат под углом к оси х-ов, где
=arctg2.
8. y=x+arcsin(sinx) (рис. 38).
Заданная функция нечетная. Поэтому построение графика проводим только для х?0.
Строим полупрямую у1=х и от нее откладываем соответствующие значения функции у2=arcsin(sinх). Левая часть графика строится косо симметрично правой.
9. y=х+arctg(tgx) (рис. 39).
Построение этого графика аналогично построению предыдущего графика.
Рис. 40.
10. у=х-arccos(cosх) (рис. 40). Строим два вспомогательных графика:
у1=х и у2=аrссоs(соsx).
Справа от вертикальной оси ординаты графика заданной функции получаются как разность соответствующих ординат вспомогательных графиков:
y=y1-y2.
Слева от оси у-ов сделано дополнительное построение графика функции - у2= - arccos(cos x). Затем ординаты у1 и (- у2) складываются.
рис. 41.
11. у=х - arcctg (ctg x) (рис. 41).
График этой функции строится так же, как и предыдущий.
12. y=+lgx (рис. 42).
Вспомогательный график у1=. Ординаты функции y2=lgx откладываются не от оси х-ов, а от вспомогательного графика у1. Характерные точки:
1) при x=l y1==l; y2=lgl=0; у=1; точка А(1; 1);
2) при х=10 у1=; y2=lgl0=l; y=+l; точка В(10; +1);
3) =-?.
Область существования заданной функции: (0; ?), т.е. та же, что и функции y2=lgx.
Рис. 42.
13. у=- cos x (рис. 43).
Строим графики двух функций (штриховыми линиями): у1= и у2=-соsх. Второй график построен только для х?0, т.е. в пределах области существования функции у1=. График заданной функции строится в этих же пределах сложением ординат: y1+у2.
рис. 43.
14. y=arcsin(sinx)- (рис. 44).
Помимо двух вспомогательных графиков функций у1=arcsin(sinx) и у2=, построен дополнительно еще один вспомогательный график: у3=-. От точек этого дополнительного графика (у3) отложены ординаты у1.
Кроме того, отмечены точки A и В, в которых графики функций у1 и у2 пересекаются, т. е. у=у1-y2=0; эти точки снесены на ось абсцисс.
15. y=--ax при а>1 (рис. 45).
Вспомогательные графики: y1= и у2=-ах. От точек кривой у2=-ах отложены ординаты у1=.
Рис. 44.
16. у=ах+а-х при а>1 (черт. 194). Вспомогательные графики: у1=ах и у2=а-х.
График заданной функции строится сложением ординат вспомогательных графиков: у=у1+у2.
Рис. 45. Рис. 46.
При x=0 заданная функция имеет минимум: ymin=a0+a-0= 1+1=2.
Найдем минимум данной функции.
Обозначим ax +a-x=k. (a)
Заметим, что:
область существования заданной функции: (-;), т. е. функция существует на всей числовой оси х-ов;
ах>0 и а-x>0 и, следовательно, k>0.
Преобразуем равенство (а):
ax+=k,
(б)
Так как ах ?0, то равенство (б) равносильно равенству: a2x+1=axk, откуда получаем:
а2x-kax+1=0. (в)
Решаем уравнение (в) относительно ах:
(г)
Видим, что ах имеет действительное значение при ?1, или k2?4, т. е. |k|?2.
А так как k>0, то |k|=k и, следовательно, k?2. Таким образом, kmin=2, т. е.
(ax +a-x)min=2.
Подставляя в равенство (г) значение kmin, находим, что
Рис. 47
т.е. х=0.
17. y=logacosх+cosx (Рис. 47), где а>1.
Так как заданная функция периодическая, с периодом 2, то построение проведено для одного периода: -.
Вспомогательные функции: y1=cosx и y2=logacosx.
Функция y1=cosx является внутренней для функции y2=logacosx, что учитывается при построении второго графика.
Граничные значения:
при х(-) и х
y1=cosx0 и y2=logacosх -?; следовательно, у-?.
Характерная точка:
при х=0 у1=соsx=1; y2=logal=0; у=1, точка (0; 1).
При функция не определена, так как cosх?, и вспомогательная функция y2=logcosx не существует.
Рис. 48.
18. y=tgх+logatgх (рис. 48), где а>1.
Строится аналогично предыдущему графику.
Построение проведено, для одного периода (): 0<х<.
При функция не существует.
19. у=х+ (рис. 49).
Функция нечетная, так как
.
Построение графика проведено для х>0.
Вспомогательные графики: у1=х и у2=.
Прямая у1=х является асимптотой искомого графика.
Кроме того, при х>0 функция имеет минимум, который для функций данного вида может быть определен следующим образом.
Рис. 49.
Возьмем функцию в общем виде: у=х+ при x>0.
Так как среднее арифметическое двух положительных чисел больше среднего геометрического этих чисел или ему равно, то
Минимальное значение суммы имеет место при условии, что =2; откуда получаем:
; ;
x= и
Для заданной функции, следовательно, имеем:
при х==.
Левая ветвь графика косо симметрична правой.
20. у=х- (рис. 50).
Рис. 50.
Функция нечетная. Построение проведено для х>0.
Вспомогательные функции: у1=х и у2=-.
Ординаты искомого графика получаются алгебраическим сложением ординат у1 и у2. Так как ординаты графика у2 отрицательны, то они откладываются вниз от графика у1.
Прямая у1=х является асимптотой для искомого графика, причем правая ветвь графика приближается к этой асимптоте снизу Кроме того, имеем:
при х0 у=х-?;
при х=1 у1=1; -у2=-1; у=у1 - у2=0.
21. y=sinx+cosx (рис. 51).
Рис. 51.
Преобразуем заданную функцию:
.
Строим график преобразованной функции:
.
22. y=cosx- sinx (рис. 52)
Рис. 52.
Аналогично предыдущему преобразуем данную функцию:
и строим график функции:
.
§ 3.5. Графики произведения и частного двух функций
Произведение и частное двух функций поддаются общему исследованию, на основании которого и может быть построен график.
Часто построение графика упрощается, если предварительно построить вспомогательные графики функций, входящих в произведение или частное.
Иногда произведение или частное возможно преобразовать так, что построение графика преобразованной функции оказывается проще.
Эти и некоторые другие приемы построения графиков произведения и частного двух функций иллюстрируются следующими примерами.
1. y=xsinx (Рис. 53).
Рис. 53.
Строятся (штриховыми линиями) вспомогательные графики функций, входящих в заданное произведение: у1=х; y2=sinx.
Перемножение этих графиков упрощается благодаря тому, что функция y2=sinx периодически принимает значения 0 и 1. В первом случае искомый график y=xsinx пересекает ось абсцисс, во втором - касается вспомогательной прямой у1=х.
Так как функция y2=sinx периодически принимает еще значение
(-1), то построение облегчается, если построить еще одну вспомогательную прямую: у3=-х (на рисунке эта прямая построена штрих-пунктирной линией).
Для всех х=2 заданный график касается этой вспомогательной прямой, так как для этих значений х
sinx=-1.
Так как заданная функция y=xsinx четная [(-x)sin(-х)=
=(-х)(-sinx)=xsinx], то указанное построение проводится только для правой части графика; левая часть графика строится затем симметрично правой.
Рис. 54.
2. у= -хcosx (Рис. 54).
Так же, как и в предыдущем случае, помимо графиков двух вспомогательных функций: у1=-х и y2=cosx, входящих в заданное произведение, построен еще третий вспомогательный график функции: у3=х.
Далее построение аналогично предыдущему.
3. y= (Рис. 55).
Замечаем, что заданная функция нечетная, так как ==
=-. Поэтому построение проводится только для правой части графика, левая часть графика строится затем косо симметрично правой.
На чертеже построены два графика вспомогательных функций, входящих в. заданное частное: и y2=sinx, и третий вспомогательный график: у3=-.
Остальные построения аналогичны предыдущим.
Рис. 55.
Следует особо объяснить вид графика при х0, так как в этом случае получается неопределенность вида , которую следует раскрыть.
Известно, что , т. е. что при x0sinx~х. Следовательно, можно записать:
4. (Рис. 56).
Функция четная, так как .
Вспомогательные функции: y1=sinx; у2= и y3=
Заданный график строится как график произведения: у1y2=sinx.
Рис. 56.
5. y=axlogbx, где а>0; а?1 и b>1 (Рис. 57).
Вспомогательные функции: у1=ах; y2=logb x.
Так как область существования функции у2=logb x есть интервал (0, ), что определяет область существования заданной функции, то и график вспомогательной функции y1=ах построен только для х>0.
Заметим, что при x=b y2=logbb=l и у=у1у2=аb, получаем точку А(b;аb).
6. у=|х| (рис. 58).
Функция четная. Построение проводится для правой части графика; левая часть графика симметрична правой.
Вспомогательные графики: у1 =|х|; у2=.
При x=± у2==1, поэтому график заданной функции пересекает прямую y1=|х| в точке A(, ).
При х=1 у2=0 и у=0.
Рис. 58.
7. (Рис. 59).
Функция нечетная, так как
Вспомогательные графики функций y1=arctgх и у2=|х| пoстроены только для х>0.
Рис. 59.
Характерные точки (для правой части графика):
1)
так как при х0 tgxx;
2);
3) при х= y=; точка (1,7; 0,6).
8. у= (Рис. 60).
Вспомогательные графики: у1=соsх; y2=log4x. Находим область существования заданной функции.
Числитель у1=соsх не дает никаких ограничений для х.
Рис. 60.
Знаменатель y2=log4x обусловливает:
а) х>0,
б) log4x?0, т. е. х?1.
Следовательно, область существования заданной функции состоит из двух интервалов: (0; 1) и (1; ?).
Так как х>0, то и вспомогательный график у1 строится только для правой полуплоскости.
Характерные точки:
1)
2) . Прямая x= 1 является асимптотой графика;
3) при x=4 y2=log44=l, поэтому искомый график пересекает график вспомогательной функции у1 при x=4;
4) при х= у1=соsx=0, у=0 - в этих точках заданный график пересекает ось абсцисс.
График колеблется около оси абсцисс, приближаясь к ней.
Список использованных источников и литературы
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993..
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1994.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Вейц Б.Е., Ивашев - Мусатов О.С., Ивлев Б.М., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред шк. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1997.
Денищева Л.О., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., и др. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах: Пособие для учителя - М.: Просвещение, 1988.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1996.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1998.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 10-11 кл. сред шк. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998.
Мордкович А.Г. Алгебра - 7. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.
Мордкович А.Г. Алгебра - 8. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.
Мордкович А.Г. Алгебра - 9. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа- 10-11. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.
Мордкович А.Г. Алгебра - 7-9. Учебное пособие для учителя. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.
Мордкович А.Г. Алгебра - 10-11. Учебное пособие для учителя. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.
Г. И. Глейзер, История математики в школе, IX-X классы, Москва, Просвещение, 1983.
Л. С. Понтрягин, Математический анализ для школьников, Москва, Наука, 1983.
В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990.
Гурский И.П. Функции и построение графиков. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1968.
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. - Москва. 1969.
К. А. Рыбников, Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987.
Н. И. Борисов, Как обучать математике, Москва, Просвещение, 1979.
С.Г. Крейн, В. Н. Ушаков, Математический анализ элементарных функций, Москва, Наука, 1966.
Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев. - М.: Дрофа, 2002.
