И только в следующем параграфе дается определение линейной функции в общем виде. Школьникам объясняется, что график функции y=kx+b получается сдвигом графика функции y=kx на b единиц вдоль оси ординат. Графики данных функций параллельны.
В учебнике А.Г. Мордковича понятие «Линейная функция» вводится совсем иначе. Поскольку определение функции будет дано только в 9 классе, изменяется традиционная методика изложения темы «Линейная функция» - первой темы, связанной с понятием функции. Первой (в §28) изучается тема «Линейные уравнения с двумя переменными». Рассматриваются задания следующего типа:
- найти какое либо решение уравнения 2х+3у=5;
- найти решение уравнения 2х+3у=5, зная, что х=2, зная что у=0, и т.п.;
- построить график уравнения х+у=3 и с помощью графика узнать несколько решений этого уравнения.
Далее внимание учащихся обращается на то, что график линейного уравнения с двумя переменными с двумя переменными проще строить, если уравнение преобразовано к виду y=kx+b, для которого употребляется термин «линейная функция». Позднее им сообщается, что существуют и другие функции, например у=х2 (ее изучению посвящена глава 7).
В учебнике вводятся теоремы без доказательства, например:
Теорема 2. Графиком линейной функции y=kx+b является прямая.
Теорема 4. Прямая, служащая графиком линейной функции y=kx+b, параллельна прямой, служащей графиком прямой пропорциональности y=kx.
§2.2. Квадратичная функция.
С квадратичной функцией учащиеся в учебниках Ш.А. Алимова впервые сталкиваются в 8 классе.
В §35 учащиеся знакомятся с определением квадратичной функции. Даются примеры из жизни, где имеет место быть квадратичная функция. Например, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции y=x2.
В §36 предлагается рассмотреть функцию y=x2, т.е. квадратичную функцию y=ax2+bx+c при, а=1, b=0, с=0.
Для построения функции составляется таблица, а затем точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются. График функции y=x2 называется параболой.
После чего выясняются некоторые свойства функции y=x2.
В §37 учащимся предлагается построить график функции y=ax2. Сравнивается графики функций y=ax2 и y=x2. Говорят, что график функции y=аx2 получается растяжением графика функции y=x2 от оси Ох вдоль оси Оу в а раз.
Рассматриваются свойства функции y=ax2, где а0
1) если а0, то функция y=ax2 принимает положительные значения при х0;
если а0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х0;
2) Парабола y=ax2 симметрична относительно оси ординат;
3) Если а0, то функция y=ax2 возрастает при х0 убывает и при х0;
Если а0, то функция y=ax2 убывает при х0 и возрастает при х0.
В §38 автор предлагает построить график квадратичной функции. Для этого предлагается использовать метод выделения полного квадрата (получили у=(х+т)2+п), а затем сравнить полученный график с графиком функции у=х2. Делается вывод что мы получаем параболу сдвинутую на т единиц по оси Ох и на п единиц по оси Оу.
В §39 приводится алгоритм построения графика любой квадратичной функции y=ax2+bx+c:
1. Построить вершину параболы (х0, у0), вычислив х0, у0 по формулам .
2. Провести через вершину параболы прямую параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы.
3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.
4. Построить две какие-то точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси, симметричные относительно точки х0 (х0 0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и х=2х0 (ординаты этих точек равны с)
5. Провести через построенные точки параболу.
При изучении темы формируются умения определять по графику промежутки возрастания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и решение задач с их применением не входит в число обязательных.
В заключении, учащимся предоставляется возможность еще раз повторить решение систем двух уравнений, одно из которых первой, а другое второй степени.
В учебниках Ю.Н. Макарычева и др. с функцией y=x2 учащиеся впервые сталкиваются в 7 классе. Все сведения рассматриваются в этом параграфе аналогично учебнику Ш.А. Алимова за 8 класс.
Дальнейшее же знакомство с квадратичной функцией происходит только в 9 классе.
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а0 - так начинается §3 в данном учебнике.
Изучение квадратичной функции начинают с частного случая - функции y=ax2.
При а=1 формула y=ax2 принимает вид y=x2. С этой формулой учащиеся уже встречались в 7 классе. В отличии от учебника Ш. А. Алимова формулируется 5 свойств. Добавляется свойство, что график функции проходит через начало координат, и свойство о наибольшем и наименьшем значении.
В следующем пункте рассматриваются графики функции у=ах2+п и у=а(х-т)2. Учащимся предлагается выяснить, что представляют собой графики данных функций.
И наконец в последнем пункте данной темы рассматривется построение графика квадратичной функции. Здесь предлагается алгоритм построения квадратичной функции, состоящий из трех пунктов:
Найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;
Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;
Соединить отмеченные точки плавной линией.
В учебнике Мордковича функция y=x2 вводится в седьмом классе:
во-первых, для того чтобы школьник, целый год изучавший курс алгебры, не закончил год с убеждением, что в природе существуют только линейные функции; надо приоткрыть двери в дальнейшие разделы математики;
во-вторых, эта функция помогает более глубокому изучению линейной функции.
В результате в 7 классе учащиеся знакомятся с графиком и свойствами функции y=x2, учатся графически решать уравнения.
Дальнейшее знакомство с данной функцией происходит в 8 классе. Так, в §12 приведены два алгоритма построения графика функции у=f(x+l)+m, если известен график функции y=f(x).
В §13, где идет речь о построении графика квадратичной функции, делается акцент не на отыскании координат вершины параболы, служащей графиком функции y=ax2+bx+c, а на отыскании уравнения оси симметрии параболы . Во - первых, построение оси параболы само по себе значимо с геометрической точки зрения: наличие оси параболы дает учащимся возможность найти одну- две пары симметричных относительно оси точек параболы, которые используются как контрольные точки для более точного эскиза графика. Во - вторых, зная уравнение оси х=х0, ученик сможет найти ординату вершины параболы по формуле у0=f(х0), более важной, не мой взгляд, для понимания сути дела, чем требующая специального запоминания формула .
§2.3. Обратная пропорциональность.
В учебниках Алимова функция у= вводится только в 9 классе. § 15 начинается с задачи: построить график функции у=. Построение осуществляется с помощью свойств функции. После данной задачи, говорится что у= - гипербола.
Во второй задаче предлагается построить график функции у=, при k=2 и k=-2. Данная задача позволяет сравнить графики функций обратной пропорциональности с разными знаками. В результате дается определение гиперболы в общем случае и даются ее свойства.
В конце параграфа приводится пример из жизни, где встречается данная функция. Говорится, что функция у= при k>0 выражает обратную пропорциональную зависимость между х и у. Такая зависимость между величинами часто встречается в физике, технике и т.д.
Например, при равномерном движении по окружности с постоянной скоростью v тело движется с центростремительным ускорением а, равным , где r - радиус окружности, т.е. в этом случае ускорение обратно пропорционально радиусу окружности.
Учащимся предстоит овладеть такими свойствами, как область определения, четность и нечетность функции, возрастание и убывание функции на промежутке.
В учебнике Макарычева данная функция вводится в 8 классе. На изучение данной функции отводится только § 8 из третьей главы. Параграф начинается с примера о площади прямоугольника, благодаря чему учащихся подводят к определению обратной пропорциональности. Далее приводится пример построения графика функции при k0. Обращается внимание на то, что при х=0 выражение смысла не имеет. Затем для сравнения строится второй график при k отрицательном. И в конце параграфа дается определение графика обратной функции.
В учебниках мордковича обратная функция изучается в 8 классе вместе с функцией y=x2. И вводится точно так же как в учебнике Макарычева.
§2.4. Степенная функция.
В учебниках Алимова со степенной функцией ученики встречаются в 9 классе.
С функциями у=х и у=х2 учащиеся познакомились, и им объясняется что эти функции - частный случай степенной функции у=хr, где r -заданное число (причем как целое, так и дробное). После чего формулируются свойства данной функции в зависимости r, которое может быть как положительным, так и отрицательным.
В учебниках Макарычева с функцией у=хr учащиеся сталкиваются тоже только в 9 классе, В §22 рассматривается только натуральный показатель. При формулировке свойств, берется два случая, когда показатель степени четный и когда нечетный.
С дробным показателем рассматривается единственная функция в 8 классе у=. Вводится она на примере площади, что для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны. Зависимость стороны квадрата от его площади выражается формулой а=. Далее строится график данной функции, с помощью таблицы. И в конце параграфа формулируются некоторые свойства функции.
В учебниках Мордковича функция у= вводится в 8 классе, на основе функции затем даются свойства квадратных корней. То есть, то, что в 8 классе учащихся знакомят с данной функцией обосновано методически.
Знакомство же со степенной функцией происходит лишь в 11 классе. Первой функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится . Ей посвящен §40. Дело в том, что в предыдущем параграфе введен п-ый корень из действительного числа, следовательно, необходимо подумать о графике и свойствах функции . Параграф начинается с рассмотрения уже известной функции когда п=2. На основе сравнения графика данной функции с графиком функции у=х2 вводится понятие симметричной функции. Формулируется теорема:
Точки М(а;ь) и Р(ь;а) симметричны относительно прямой у=х.
После чего идет доказательство теоремы..
Формулируются свойства функции . В учебниках Мордковича помимо тех свойств, которые изучаются у Алимова и Макарычева, рассматривается выпуклость и вогнутость графика функции.
И наконец, §44 посвящен уже степенной функции вида у=хr, где r - любое действительное число. Основная цель этого параграфа - добиться того, чтобы учащиеся четко представляли себе эскиз графика степенной функции у=хr для любого рационального показателя r и знали свойства степенной функции.
При формулировке свойств рассматривается три случая: степень больше единицы, степень больше нуля, но меньше единицы и отрицательная степень.
В этом же параграфе идет речь о дифференцировании и интегрировании степенной функции. Повторяется материал 10 класса: составление уравнения касательной, исследование функций на монотонность и экстремумы, построение графиков функций, отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с помощью производной, вычисление площади плоских фигур.
§2.5. Показательная функция.
В 10 классе в учебнике Алимова рассматривается показательная функция. Основная цель -познакомить с многообразием свойств и графиков показательной функции в зависимости от значений оснований и показателей степени.
Первое с чем знакомятся ученики на уроках математики - это свойства показательной функции и ее графиком. На ее изучение отводится один параграф, который начинается с повторения свойств степеней. После чего вводится определение показательной функции. Далее рассматриваются основные свойства показательной функции. Свойства монотонности обосновываются аналитически и иллюстрируются на графике. В дальнейшем основное внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику (чтение графика). Приводятся примеры применения показательной функции для описания различных физических процессов. В учебнике приводится в пример формула радиоактивного распада , где m(t) и mo - масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t и в начальный момент времени t=0, T - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшится вдвое). Так же рассказывается, что с помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения.
В учебниках Колмогорова показательная функция изучается в 11 классе. Прежде чем ввести понятие показательной функции f(x)=ax, где х принимает любые значения из множества действительных чисел, проводится подготовительная работа. Начинается со знакомства учащихся с функцией f(x)=ax, область определения которой - множество рациональных чисел. Для каждого положительного числа а можно найти значение выражения ( - любое рациональное число). Таким образом, любому числу х из множества Q соответствует действительное число ax. На странице 179-180 учебника после определения показательной функции помещен материал, адресованный учащимся, проявляющим повышенный интерес к занятиям математикой. В нем описана схема доказательства существования значения показательной функции для любого иррационального х (следовательно, и самой функции).
В учебнике Мордковича учащиеся впервые сталкиваются с понятием показательной функции уже в 9 классе, на примере формулы п-го члена геометрической прогрессии. Следующая встреча с данной функцией у учащихся происходит только в 11 классе. В §45 сначала рассматривается функция у=2х, хQ. При рассмотрении свойств у=2х отмечается, что это возрастающая функция, неограниченная сверху и ограниченная снизу, не имеющая ни наименьшего, ни наибольшего значения.
Кроме того, рассматривается функция у=2х при х=. Доказывается, что при вычислении получается конкретное число. То есть в учебнике Мордковича рассматриваются функции не только с рациональным показателем, но и действительным.
При формулировке общих свойств графика функции, рассматриваются два случая, когда основание целое число и дробное число большее нуля, но меньшее единицы. И только после этого вводится определение показательной функции.
Кроме того, в учебнике Мордковича изучается горизонтальная асимптота графика функции, и способ ее отыскания.
В учебнике обращается внимание на то, что учащиеся иногда путают понятия показательной функции и стенной. Предлагается сравнить данные функции. Далее автор не забывает упомянуть функцию . Говорится, что данная функция не считается ни показательной, ни степенной, но ее иногда называют показательно- степенной.
Во втором замечании автор говорит, что не рассматривается показательная функция с основанием а=1.
§2.6. Логарифмическая функция.
В учебнике Алимова с логарифмической функцией учащиеся впервые сталкиваются в 10 классе.
Основная цель - познакомить учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиком.
До введения понятия логарифмической функции формируется понятие логарифма числа, изучаются свойства логарифмов.
§6 начинается с определения логарифмической функции. После чего формулируются свойства данной функции. Аналитическое обоснование свойств функции от всех учащихся не требуется.
