работе И.Л. Никольской и Е.Е. Семенова выделены зна-ния и умения, которыми, по мнению авторов, выпускник школы должен владеть: уметь правильно формулировать определение знакомого понятия, классифицировать, понимать значение свя-зок «и» и «или», уметь строить отрицание утверждений, содержа-щих кванторы, понимать смысл терминов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», «не более», «не менее» и т. д.

1.4.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе.

Основной задачей формальной логики является отделение пра-вильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждение можно считать верным лишь в том случае, если из истинных суж-дений - посылок нельзя получить ложное суждение - ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заклю-чения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную инфор-мацию. Поэтому такие рассуждения недопустимы.

Совокупность общественной практики, являющейся критери-ем истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассужде-ний, от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. Отсюда понятна важность законов и правил выво-да. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо - не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.

Говоря о логической составляющей в обучении учащихся ос-тановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в поря-док, выясним, какой смысл вкладывал М.В. Ломоносов в извест-ные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.

Установить порядок на некотором множестве объектов - зна-чит пронумеровать их. Существуют определения строгого и не-строгого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения «предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на мно-жестве суждений можно установить с помощью отношения «сле-довать», «быть следствием». Теорема о вписанном угле треуголь-ника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение «предшествовать» - отношение строгого порядка, отношение «следовать» - пример отношения нестрогого порядка.

Дедуктивное (аксиоматическое) построение курса математи-ки и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.

Почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информа-ция была упорядочена? На этот вопрос ответ можно найти в рабо-те А.А. Столяра: «Эта информация может оказаться в уме челове-ка неупорядоченной, т.е. размытые знания - изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в каче-стве исходного материала для получения новых знаний. Во-вто-рых, возможно также, эта информация будет лежать «мертвым грузом», т. е. заполнять лишь память человека, но не преобразо-вываться им, не использоваться для получения новых знаний ло-гическим путем, с помощью рассуждений».

Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащи-мися, изучающими дедуктивно построенный математический курс. Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом:

Учащиеся должны уметь:

¦ формулировать определения понятий с использованием раз-личных связок и кванторов;

¦ приводить примеры понятий, подводить объекты под опреде-ления различных логических конструкций;

¦ приводить контрпримеры, т. е. строить отрицание определе-ний различных логических конструкций;

¦ понимать отношения между двумя понятиями;

¦ проводить классификацию известных понятий;

¦ понимать свойства конкретных отношений - рефлективность, симметричность, транзитивность - без употребления соответ-ствующей терминологии;

¦ понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то... »;

¦ выделять условия и заключения теоремы;

¦ строить отрицание утверждений различной структуры;

¦ различать свойства и признаки понятий;

¦ понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;

¦ уметь проводить полученное доказательство;

¦ понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в отдельных случаях;

¦ понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;

¦ использовать отдельные методы доказательства - метод от противного, полную индукцию, доказательства методом исключения;

¦ понимать основные принципы построения дедуктивной теории.

Овладение перечисленными действиями по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.

1.4.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся.

Для решения задач развития логического мышления не требу-ется включения в курс дополнительного математического мате-риала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

В системе работы учителя по развитию логического мышле-ния учащихся могут иметь место различные уровни.

I. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным факто-ром, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.

II. Организация деятельности учащихся по осознанию логи-ческой составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.

III. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под определе-ние, подведение под понятие и многое другое.

Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях система-тизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

I. Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания вза-имосвязей между компонентами системы.

II. Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

III. Уровень логично организованных знаний.

Последний уровень характеризуется пониманием целостнос-ти системы знаний, пониманием места отдельных элементов сис-темы знаний в этой системе, т. е. систематизацией изученного ма-териала.

Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.

ПРИМЕР: При изучении равнобедренного и равносторон-него треугольника наряду с другими заданиями можно предло-жить учащимся следующие вопросы:

- Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у кото-рого две стороны равны и два угла равные, называется равно-бедренным?

- Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?

-Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники яв-ляются равносторонними?

-Какими могут быть неравносторонние треугольники?

- Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла рав-нобедренного треугольника является его медианой и высотой?

В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению призна-ков и свойств понятий. Ошибки допускаются не только начинаю-щими изучать курс геометрии, но и выпускниками школы. И, на-против, понимание терминов свойство и признак понятия позво-ляет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используют-ся, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки - ког-да необходимо под понятие подвести.

Путаница свойств и признаков обусловлена тем, что кроме как в математике и, может быть, еще в медицине термины «свой-ства» и «признаки» нигде строго не разделяются. Например, в сло-варе русского языка дается такая формулировка: «Свойство - это качество, признак, составляющий отличительную особенность кого - чего - либо.» (С.И. Ожегов. Толковый словарь. М., 1998.) Или: «Свойство - то, что присуще предметам, что отличает их от других предметов или делает их похожими на другие предметы.» (Н.И. Кондаков. Логический словарь. М., 1971.)

В математике свойства понимаются как необходимые условия существования понятия, признаки - как достаточные или необходимые и достаточные условия существования понятия. В школьном курсе термин признак всегда употребляется как необходимое и достаточное условие.

Ближе всего к школьному пониманию терминов свойство и признак являются следующие определения, на которые можно опереться при разговоре с учащимися. «Свойство - каждая из множества сторон вещи или явления, выявляющаяся во взаимодействии данного предмета с другими.» (Энциклопедиче-ский словарь. М., 1964.) «Признак - показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-либо». (СИ. Ожегов. Толковый словарь. М., 1996.)

По сути дела свойство понятия, объекта - это все то, что мож-но сказать об объекте, изучая его. Признаки - это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определен-ному классу объектов, к понятию.

В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема «Отноше-ние периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников» описывает имеющиеся подобные многоугольники, т. е. является их свойством.

Рассмотрим формулировку теоремы: «Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом». В этой теореме условие попарного равен-ства противоположных сторон четырехугольника является при-метой, показателем, знаком того, что четырехугольник является параллелограммом.

Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком jc или свойством некоторого понятия является рассмат-риваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы (если треугольник является прямоугольным, то...), - теорема вы-ражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключении теоремы (..., то данный четырехуголь-ник является параллелограммом), - теорема является его призна-ком.

При этом называть теорему признаком или свойством безот-носительно к понятию нельзя, т. к. формально каждую теорему можно считать свойством одного понятия и признаком другого. Например, теорема «В подобных треугольниках соответствую-щие углы равны» является свойством понятия подобные треуголь-ники и признаком равенства углов. Некоторые условия являются как свойствами, так и признаками одного и того же понятия, на-пример, деление диагоналей, пополам в точке их пересечения для параллелограмма.

Как строится теория понятия? Вначале дается формальное оп-ределение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обрат-ные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истин-ность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств.

1.5. Развитие логического мышления в геометрии.

1.5.1. Задачи преподавания геометрии в школе.

Задача преподавания геометрии - развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понима-ние и логическое мышление.

Разумеется, в задачи курса геометрии входит: дать учащимся, как это принято говорить, основные знания и умения в области гео-метрии. Однако все же главные, глубинные задачи преподавания геометрии заключаются в трех указанных элементах...».

Таким образом, А. Д. Александров указывает на три основные задачи преподавания геометрии в средней школе: наряду (точнее, посредством) с изучением основных геометрических фактов и развитием определенных умений и навыков, учащихся главные задачи составляют развитие их пространственного воображения, логического мышления и понимания того, что геометрия изучает, свойства реального мира. Эта точка зрения нашла яркое воплощение в пробных учебниках геометрии, написанных авторским кол-лективом во главе с академиком А.Д. Александровым.

Программа по геометрии дает такие же целевые установки на преподавание геометрии в средней школе. Таким образом, основ-ными задачами курса геометрии являются:

- систематическое изучение основных фактов геометрии, ме-тодов их получения и возможностей их применения;

- развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;

- развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.

При этом основой для развития пространственного воображе-ния и логического мышления учащихся является овладение ими основными фактами и методами геометрии.

В высказываниях ряда ученых и в учебниках, написанных ими, можно заметить определенные акценты, которые они делают на от-дельных задачах преподавания геометрии в школе. Так, у акаде-мика А. Д. Александрова - это «лед и пламень» органического единства строгой логики и живого восприятия реального мира.

Академик А. В. Погорелов на первое место ставит развитие логического мышления учащихся. Он пишет: «Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания гео-метрии в школе - научить учащихся логически рассуждать, аргу-ментировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать».

Стремлением к форсированному развитию логического мышле-ния учащихся обусловлено в его учебнике «основное учебное требование» доказывать все, особенно в начале обучения; повы-шенное внимание к строгости доказательств «очевидных» фактов (например, спи манных с отношением «лежать между»); широкое использование способа доказательства от противного с первых шагов обучения; сознательный отрыв мышления от чертежа как «эффек-тивное обучающее средство».

1.5.2. Чертеж учит думать.

В школьном курсе геометрии выделяют три вида чертежей:

чертежи, иллюстрирующие содержание вво-димого понятия;

чертежи, образно представляющие условие задачи или рассматриваемого математического предложения;

чертежи, иллюстрирующие преобразования геометрических фигур.

Мы будем рассматривать главным образом работу с чертежами первых двух видов, по-скольку они имеют более общее назначение.

Формируя у учащихся умение, работать с чертежом, учитель должен помнить, что если ограничиваться стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро начнут связывать формируемое понятие только с фигурами опре-деленного вида и положения. «Стандартный» чертеж вызывает у учащихся неверные ассо-циации, в результате которых в содержание понятия вносятся лишние признаки, являю-щиеся частными признаками демонстрируемой фигуры.

Эффективность формирования у учащихся понятий, которые можно представить наглядно, в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с ним, т. е. каким оказался первый зрительный образ, ставший затем носителем данного понятия (сила первого впечатления). Поэтому в начале изучения понятия надо показывать как можно больше чертежей, в которых варьируются не существенные признаки понятия.

Конечно, на построение различных вариантов одного и того же чертежа уходит много времени. Рекомендуем поступить следующим образом. Из куска линолеума вырезать круг и закрепить его на классной доске так, чтобы он мог вращаться вокруг своего центра. К этому кругу приделать небольшую ручку, с помощью, чертеж которой можно его поворачивать. Всякий раз уже построенный чертеж учитель захочет показать в другом положении, ему останется лишь повернуть круг, на котором чертеж изображен. Это приспособление полезно еще тем, что позволяет внедрять в сознание учащихся ту важную мысль, что при движении сохраняются основные свойства фигур.

Ученики обычно привыкают соотносить какую-либо фигуру с одним понятием, не умея переосмыслить фигуру в плане другого понятия. Для развития мышления учащихся нужно потратить много усилий на формирование у ни умения вычленять из элементов новые фигуры, не упомянутые в тексте условия задачи В. И. Зыкова отмечает: «Чтобы устранить трудности при выполнении операции переосмысливания, следует обращать внимание учащихся на случай соответствия фигур двум и более понятиям».

Чертежи и рисунки - эффективное средство формирования у учащихся умения подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, преобразований, сопоставлений. Обращаясь к учителям математики, Д Пойа писал: «Результат творческой работы математики - доказательное рассуждение, доказательство, но доказательство открывают с помощью правдоподобных рассуждений, с помощью догадки… Преподаватель должен показывать, что догадки в области математики могут быть разумными, серьезными, ответственными… Давайте учить догадываться!».

При обучению решению геометрических задач очень важно следить за тем, чтобы формулировка задачи помогла учащимся сделать чертеж. В школьных учебниках текст, с помощью которого сформулирована задача или теорема, не всегда написан доступным, понятным языком. Как показывает практика, ученикам труднее всего даются такие тексты, в которых краткость достигается нанизыванием придаточных предложений или причастных оборотов.

Особое место в развитии мышления зани-мает обучение сравнению, в частности сравне-нию факта, выраженного словесно, с его интер-претацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказыва-ния. Учась опровергать неверные высказы-вания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. Приведем три задания, кото-рые фактически нацеливают учащихся на поиск контрпримеров.

11. Верно ли утверждение: «Любой четы-рехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом»?

12. Верно ли утверждение: «Любой четырех-угольник, у которого два противоположных угла прямые, является прямоугольником»?

13. Изобразите на чертеже случай, для которого неверно высказывание: «Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки». (Пропущено указание на то, что речь идет о двух прямых.).

В пропедевтическом курсе геометрии важно воспитывать у школьников понимание необхо-димости того, чтобы изучаемые факты дока-зывались. Целесообразно показывать школь-никам что v людей нет иного пути убедиться в истинности суждения, как только доказать его логическим путем. «Самые тщательные из-мерения - может сказать учитель,-- все-таки оставляют повод для сомнений, поскольку в них неизбежны большие или меньшие ошибки. Доверяться очевидности тоже нельзя, так, как широко известно, что зрение человека дает неточную, а иногда и совершенно ошибочную информацию».

Итак, разносторонняя работа с чертежами не только способствует общему умственному развитию школьников, но и подталкивает их логическое развитие, обеспечивая менее болезненный переход от опытно - индуктивного преподавания пропедевтического курса геометрии к дедуктивности основного курса геометрии.

Для повышения эффективности развивающего обучения геометрии перед учащимися следует систематически ставить серии задач (или отдельные задачи), которые наряду с конкретными обучающими функциями несли бы в себе (также в качестве веду-щих) функции, направленные на формирование у школьников эле-ментов творческого математического мышления.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты