оэтому учителя используют, кроме стабильного задачника, другие сборники упражнений, отдельные статьи из опыта препо-давания, содержащие подбор упражнений к отдельным темам курса, а также сами составляют геометрические задачи.

2.1.5. Классификация геометрических задач.

Как известно, упражнения в геометрии в зависимости от условия и задания делят на три группы: задачи, на вычисление, дока-зательство и на построение.

В задачах на вычисление требуется выразить неиз-вестные величины (отрезки, углы, площади, объемы) или их от-ношения через известные параметры. Если параметры даны в общем виде, то результат получается в буквах; если же условие со-держит числовые значения параметров, ответ доводится до числа.

Иногда условие таково, что требуется сначала решить задачу в общем виде, а потом подставить в полученное выражение значе-ния параметров. Но порой, независимо от требований условия, за-дачу целесообразно решить в общем виде. Таким образом, решения «в буквах» и «в числах» не противопоставляются одно другому, они являются лишь двумя формами представления неизвестных величин через известные.

В задачах на доказательство необходимо установить наличие определенных соотношений между элементами рассматри-ваемой фигуры: равенство или неравенство отрезков, углов, па-раллельность или перпендикулярность прямых, плоскостей и т. д. Иногда задачи этого типа могут быть оформлены и как задачи на вычисление; например, доказать, что некоторый угол равен 45°, что объем одной фигуры во столько-то раз больше объема другой фигу-ры и т. п.

Менее распространены задачи на исследование. В таких упражнениях результат заранее не сообщается. Требуется выяснить лежит ли некоторая точка на данной прямой (на данной плоскости), пересекаются ли данные окружности, * параллельны ли данные прямые и т. п., определить, какой изданных отрезков больше, к какой из сторон треугольника ближе данная точка. Установить зависимость между перечисленными в условие элементами фигуры.

Обе формы задач на доказательство важны.

В задачах на построение неизвестные величины опреде-ляются в результате выполнения ряда геометрических построений (с помощью допустимых геометрических инструментов или в обус-ловленной проекции). Как правило, речь идет о построении гео-метрической фигуры по некоторым данным о ней. В стереометрии нередко вместо отрезков и углов дается изображение (например, пирамиды), на котором требуется выполнить построение (напри-мер, найти сечение), т. е. элементы фигуры задаются их положение (на проекционном чертеже).

Мы провели среди учащихся анкетирование для того, чтобы выяснить, как они относятся к решению задач на построение.

Анкета.

1. Что вам больше нравится:

а) алгебра

б) геометрия

2. Какие геометрические задачи вы обычно решаете успешнее:

а) на построение

б) на доказательство

3. Можете ли работать методом «в воображении», т.е. создавать образы предметов, мысленно представлять их себе с разных сторон, не опираясь на наглядные изображения (картинки, чертежи, схемы)?

а) да

б) нет

4. Как вы используете чертеж в решении геометрической задачи?

а) в основном на первом этапе работы для меня разобраться в чертеже - это уже решить задачу; на втором этапе записываю ход рассуждений

б) обращаюсь к чертежу периодически: чередую работу с чертежом и оформление каждого смыслового куска решения

5. Что составляет для вас большую трудность при усвоении геометрии:

а) представить в уме («по воображению») нужный образ (предмет, чертеж, схему)

б) восстановить в уме ход рассуждений в какой-нибудь теореме или решенной ранее задачи

6. При решении геометрической задачи «средней» для вас сложности нужен ли вам чертеж?

а) большинство задач могу решить в уме, без чертежа

б) мне было бы достаточно иметь перед глазами чертеж из учебника

в) всегда удобнее иметь собственный чертеж в тетради, на котором можно сделать дополнительные построения, пометки, обозначения

г) лучше, когда есть несколько вариантов чертежей: так легче представить задачу «с разных сторон»

7. Как вы относитесь к необходимости построения чертежа к задаче?

а) это трата времени, почти всегда могу обойтись без чертежа

б) черчу с удовольствием, стараюсь выполнить чертеж как можно точнее, это помогает решить задачу

в) не очень люблю чертить, но стараюсь сделать четкий грамотный чертеж, это облегчает решение задачи

г) чертеж, наверное, нужен, но не стоит долго им заниматься, вполне достаточно если он приблизительно соответствует условиям задачи

д) чертеж не обязателен, удобнее делать наброски на черновике и с ними работать.

Обработка результатов

Количество учащихся
	Вопросы

Выводы: По результатам проведенной анкеты можно выделить следующие факты:

1. Большинство учащихся испытывают неприязнь к выполнению чертежа.

2. При решении задач «средней» сложности учащимся недостаточно пользоваться чертежом из учебника или изображенным на доске; им необходимо каждому выполнить чертеж в своей тетради.

3. Для учащихся составляет большую трудность не только выполнение чертежа, но и самостоятельная запись решения. Поэтому решение задачи разбивается на этапы; обсуждая решение по чертежу учащимся необходимо давать время записать его ход после каждого этапа.

4. Все учащиеся без исключения не могут мысленно создать образ предмета и рассмотреть его с разных сторон «в воображении».

5. Как итогом всех этих фактов можно отметить то, что учащиеся больше предпочитают заниматься алгеброй, чем геометрией.

2.2. Характеристика задач на построение.

В преподавании математики большое значение при-обретают вопросы, связанные с обучением учащихся геометрическим построениям (выполнение наиболее рас-пространенных геометрических построений и обучение решению задач на построение).

Решая задачи на построение, учащиеся приобретают первые теоретические и практические основы «графической грамотности», знакомятся с наиболее употребитель-ными приемами их решения, с инструментами, исполь-зуемыми в различных условиях работы (о чертежно-конструкторской практике, при разметке, при выполне-нии построений на местности). У них развиваются пространственное воображение, конструктивные способно-сти, сообразительность, изобретательность, т. е. такие качества, которые необходимы работникам многих про-фессий.

Доказательство правильности решения задачи и ее исследование способствуют лучшему усвоению учащими-ся теоретического материала, развитию их логического мышления.

Обучение геометрическим построениям в школе имело до последнего времени много недостатков. Так, уча-щиеся поздно знакомились с геометрическими построениями (в VI классе ими занимались лишь в конце учебного года). Приемы решения задач на построение часто не отвечали требованиям практики: как правило, изуча-лись построения, выполняемые только циркулем и линейкой, а другие чертежные инструменты практически не использовались; мало уделялось внимания распространенным построениям, хотя обоснование их соот-ветствовало программе по геометрии и целесообразность применения этих построений на уроках математики, чер-чения и других предметов не вызывала сомнения; при рассмотрении геометрических построений не уделялось должного внимания установлению связи между приема-ми построений (на бумаге, при разметке, на местности) и использованием соответствующих инструментов.

2.2.1. Определение задачи на построение.

Задачей на построение называется предложение, ука-зывающее, по каким данным, какими средствами (инст-рументами) и какой геометрический образ (точку, пря-мую, окружность, треугольник, совокупность точек и т. д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, на-метить на местности и т. п.) так, чтобы этот образ удо-влетворял определенным условиям.

Будем считать средствами построения циркуль и одно-стороннюю линейку; вопрос о дополнении этих инстру-ментов чертежным прямоугольным треугольником будет рассмотрен далее.

Задача на построение может быть выражена с по-мощью чертежа-задания. Чертеж-задание включа-ет в себя данные элементы и требование задачи. Рассмот-рим примеры.

1. Построить треугольник по основанию а, углу при основании В=в и высоте на основание hа (рис.6)

2. Построить окружность данного радиуса r, проходящую через две данные точки А и В (рис.7).

Чертеж-задание выделяет из элементов плоскости данные элементы. При этом возможны два случая: 1) дан-ные элементы являются уже построенными (пример 2, точки А и В), и в этом случае перемещение их по пло-скости невозможно (данные элементы определены по по-ложению); 2) данные элементы лишь могут быть постро-ены (пример 1 - отрезки а и hа, угол В, пример 2 - от-резок r); в этом случае подразумевается, что элементы могут быть построены в «любом месте» плоскости (дан-ные элементы не определены по положению).

Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки - значит свести ее к конечной сово-купности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми:

1) построение прямой линии через две известные точки:

Дано: Дано:

Построить треугольник Построить окружность

АВС радиуса r, проходящую

через точки А и В

Рис. 6 Рис. 7

2) построение точки пересечения двух известных пря-мых (если эта точка существует);

3) построение окружности известного радиуса с цент-ром в известной точке;

4) построение точек пересечения известной прямой и известной окружности (если эти точки существуют);

5) построение точек пересечения двух известных окружностей (если такие точки существуют).

Термин «известный элемент» означает, что этот элемент либо дан, либо получен в предыдущих построениях, либо выбран произвольно.

Сведения к каждой задаче к элементарным построениям практически неудобно, так как делает решение громоздким. Иногда удобнее сводить задачи к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной мере произволен.

Характеристика чертежа-задания показывает, что за-дачи на построение делятся на два существенно различ-ных вида:

Задачи «метрические», в которых требуется построить геометрический образ по данным элементам, имеющим определенные размеры, но не определенными по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый в задаче геометрический образ может занимать произволь-ное положение на плоскости (пример 1).

Задачи «положения», в которых построение требуемого геометрического образа выполняется на осно-ве данных элементов, из которых хотя бы один определен по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый геометрический образ должен занимать определенное по-ложение на плоскости (относительно данных элементов, пример 2).

2.2.2. Некоторые вопросы теории геометрических построений.

В теории геометрических построений каждый инстру-мент выполняет свойственную только ему операцию. Описание этой операции является его абстрактной характеристикой и дает возможность указать на те эле-менты чертежа, которые могут быть построены при од-нократном использовании того или иного инструмента.

Обычно на практике несколько «абстрактных» инст-рументов объединяются в один (например, чертежный треугольник является комбинацией односторонней ли-нейки, прямого и двух острых углов). Часто также один инструмент используется для выполнения двух (или не-скольких) совершенно различных операций (например, линейка используется для построения прямой, проходя-щей через две заданные точки, и общих касательных к двум данным окружностям). Это дает возможность зна-чительно сократить число используемых инструментов.

Укажем характерные операции для наиболее распро-страненных в школьной практике чертежных приборов и на те элементы чертежа, которые могут быть получены при однократном их использовании.

Циркуль. Характерная для циркуля операция - проведение окружности данным (или произвольным) ра-диусом с центром в данной (или произвольной) точке.

Таким образом, циркулем могут быть построены:

а) окружность данного радиуса с центром в данной точке (радиус может быть задан двумя точками);

б) дуга окружности данного радиуса с центром в данной точке.

Линейка. Характерная операция для чертежной линейки - проведение прямой через две дан-ные точки.

На практике линей-кой пользуются также для построения к дан-ной окружности каса-тельной (рис. 8), проходящей через за-данную вне ее точку, и для построения общих внешних и внутренних касательных к двум окружностям.

Рис. 8

Теоретически эти опе-рации так же строги, как и проведение прямой через две данные точки. Практическая точность в большинстве случаев вполне удовлетворительна. Этот прием часто используется в чертежных работах и при разметке. Итак, при помощи линейки могут быть построены:

а) прямая, проходящая через две данные точки;

б) отрезок прямой, ограниченный двумя данными точками;

в) луч, проходящий через данную точку и имеющий начало в другой данной точке;

г) касательная к данной окружности, проходящая через данную вне окружности точку;

д) внешние и внутренние касательные к двум данным окружностям.

Чертежный треугольник обладает всеми свойствами односторонней линейки. Следовательно, с помощью чертежного треугольника могут быть получены те же элементы, что и с помощью линейки, а также прямая, проходящая через данную точку и образующая с данной прямой угол, равный одному из углов чертежного треугольника.

Транспортир. Характерной операцией для тран-спортира является построение точки, лежащей на луче, проходящем через данную на прямой точку и образующем заданный угол с этой прямой (рис. 9).

Рис. 9

Абстрактная характеристика каждого инструмента может быть использованы для выяснения вопроса о разрешимости задач на построение теми или ины-ми инструментами.

С этой целью в теорию геометрических построе-ний вводится понятие класса конструктивных элементов. К этому клас-су относятся все заданные элементы, а также: прямая, если она определяется двумя конструктивными точками; окружность, если она определяется конструктивным цен-тром и конструктивным радиусом (пара конструктивных точек); точка, лежащая на луче, проходящем через за-данную на конструктивной прямой точку и образующем с этой прямой заданный угол, и, наконец, точки, являю-щиеся пересечением конструктивных линий (прямых и окружностей).

Очевидно, что каждый набор инструментов имеет свой класс К конструктивных элементов.

На основании этого может быть установлен следую-щий критерий разрешимости задачи на построение.

Если искомый элемент (или элементы) принадлежит классу К, определяемому выбранным набором инстру-ментов, то задача является разрешимой при выполнении этими инструментами конечного числа операций.

Отсюда, естественно, следует, что возможность ис-пользования большого числа различных инструментов расширяет, вообще говоря, класс конструктивных эле-ментов и тем самым увеличивает число задач, допускающих точное решение.

В теории геометрических построений вопрос о необ-ходимости привлечения произвольных элементов для ре-шения (точного или приближенного) задач на построе-ние рассматривается в ряде работ; на основании тео-ремы, утверждающей, что при наличии среди заданных элементов двух различных точек класс конструктивных элементов, полученный при использовании циркуля и ли-нейки, образует счетное, всюду плотное множество, до-казывается, что любая задача на построение может быть решена при помощи циркуля и линейки без при-влечения произвольных элементов либо точно, либо при-ближенно с любой степенью точности, если среди задан-ных элементов имеются по крайней мере две различные точки.

2.2.3. Выполнение геометрических построений.

Обучение учащихся геометрическим построениям преследует две цели: обучение выполнению собственно геометрических построений и обучение решению задач на построение.

Естественно, что каждому из этих вопросов в различ-ных классах должно быть уделено различное внимание. Рассмотрим первый из них.

В VI классе основное внимание обращается на обуче-ние учащихся выполнению простейших геометрических построений и их систематическому использованию при формировании и закреплении важнейших понятий: перпендикулярность и параллельность прямых, главнейшие линии в треугольнике, симметрия относительно прямой и т. д.

К концу VI класса учащиеся должны получить уже довольно прочные навыки в решении ряда конструктив-ных задач, включенных в программу VI класса, цен-ных с практической точки зрения и необходимых для дальнейшего изучения материала.

К этим построениям относятся различные приемы построения отрезка, равного данному, масштабной линейкой или циркулем и линейкой (немасштабной); действия над отрезками (в том числе деление отрезка пополам) при помощи масштабной линейки или циркуля и линейки (немасштабной); приближенное деление угла пополам циркулем; построение угла, равному данному, транспортиром или циркулем и линейкой; построение прямого угла чертежным треугольником; действия, производимые над углами малкой, транспортиром, цирку-лем и линейкой (немасштабной); построение парал-лельных и перпендикулярных прямых различными при-емами.

Умение фактически выполнять указанные выше по-строения является совершенно необходимым условием для дальнейшего успешного обучения решению кон-структивных задач, так как только при этом условии учащиеся, решая задачи, смогут уделить внимание со-держанию и методам их решения, а не только технике выполнения самого построения.

Кроме того, овладение рядом построений способствует лучшему усвоению новых понятий. Так, например, для усвоения таких важных понятий, как высота треугольника, симметрия относительно прямой и т.д., необходимо, чтобы учащиеся умели строить прямые углы, перпендикулярные прямые и т. д.

Правильно выполненный чертеж имеет большое зна-чение для отыскания плана решения задач на вычисление и доказательство, и наоборот, неверно выполненный чертеж часто не позволяет «увидеть» нужные соотноше-ния. Более того, неверный чертеж часто направляет мысль учащихся по неверному пути.

В VII классе перед учителем стоят более широкие задачи по изучению и использованию геометрических построений, в том числе решению задач на построение. Продолжается обучение выполнению некоторых новых построений и проводится систематическое закрепление приобретенных в VI классе умений; как и ранее, геомет-рические построения используются при формировании и закреплении геометрических понятий, а также для дока-зательства существования некоторых геометрических фигур. (Начало этой работы, доказательство существова-ния определяемых объектов, проводилось в VI классе; понятия медианы, биссектрисы, высоты треугольника, параллельных прямых вводились там на основе построе-ния.)

Новыми построениями для учащихся VII класса яв-ляются: построение центрально-симметричных фигур, деление отрезка на равные части, построение окружно-сти по трем ее точкам, деление дуг окружности на рав-ные часта, деление дуг и хорд окружности пополам, про-ведение касательной к окружности через данную точку.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты