Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение
се эти построения, выполнение которых в большин-стве случаев основывается на материале, изученном в VI классе, используются затем при решении конструк-тивных задач. Необходимо, чтобы учащиеся умели фак-тически выполнять их при любом взаимном положении заданных элементов.В VII классе продолжается формирование умений учащихся выбирать различные приемы построения в за-висимости от условия задачи. Так, например, перед ними может быть поставлен вопрос, каким способом они будут проводить через данную точку касательную к дан-ной окружности, если:а) точка лежит вне окружности и центр окружности неизвестен,б) точка лежит на окружности и центр окружности неизвестен,в) точка лежит на окружности, а центр окружности находится вне чертежа.Построение касательных для всех этих случаев уча-щиеся не должны заучивать. Они должны лишь пред-ставлять, как нужно поступить в зависимости от условия задачи, какие соотношения между искомыми и данными, элементами надо использовать для построения. В VIII классе число новых построений весьма ограничено - это деление отрезка в данном отношении, по-строение фигур, подобных данным, построение углов по заданным значениям их тригонометрических функций и построение правильных многоугольников. Таким образом, основное внимание здесь уделяется закреплению ранее изученных построений и решению задач на построение.2.2.4. О некоторых вопросах методики обучения решению задач на построение. При решении с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели; решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.Эта вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация требует от учителя большом кропотли-вой и систематической работы, особенно в средней школе, так как решение задач на построение - совер-шенно новый для учащихся вид работы. Во многих слу-чаях отыскание хода решения новой задачи является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоя-тельности в отыскании решения.С первых уроков геометрии, подводя учащихся к решению задач на построение, надо обеспечивать им неко-торую самостоятельность, а тогда, когда это необходи-мо, направить мысль учащихся на желаемый путь. Иногда, может быть, даже следует создать у учащихся иллюзию самостоятельности с тем, чтобы придать им уверенность в работе, заинтересовать их решением за-дач.Мера самостоятельности в работе, выполняемой уча-щимися, должна определяться учителем, исходя из их возраста, подготовки, сложности решаемой задачи.2.2.5. Введение задач на построение.Продумывая систему работы по обучению школьников геометрическим построениям, особое внимание следует уделить методике обучения решению задач на построение.Для подготовки учащихся к возможно более самостоятельному решению задач на построение целесооб-разно в ряде случаев вначале предлагать учащимся за-дачи подготовительного характера. Они могут быть как на построение, так и на вычисление, и на доказатель-ство. Ниже приводятся три примера использования вспомогательных задач. Пример:Через вершину данного угла провести прямую, образующую с его сторонами равные углы.Угол АВС равен 620. Через вершину угла про-ведена прямая МN, перпендикулярная его биссек-трисе. Вычислить углы, которые образует эта пря-мая со сторонами угла.Пример:Через точку Р, данную внутри угла АВС, про-вести прямую, отсекающую от сторон угла равные отрезки.Стороны угла пересечены прямой, перпендику-лярной его биссектрисе. Доказать, что отрезки сторон угла, отсекаемые этой прямой, равны. Пример:Две точки А и В находятся по одну сторону прямой L. На прямой L найти такую точку С, что-бы сумма расстояний АС и ВС была наименьшей.Отрезок АС перпендикулярен прямой L и де-лится в точке пересечения с этой прямой пополам. Точка В находится на прямой L. Доказать, что точ-ка В находится на одинаковом расстоянии от то-чек А и С.Такая подготовительная работа важна в начале обу-чения решению задач потому, что у учащихся VI-VII классов еще очень слабы связи между различными фактами, изучаемыми в геометрии. Кроме того, на первых порах нельзя допускать нагромождения трудностей. Необходимо работу учащихся сделать насыщенной, но посильной.Иногда полезно от решения практической задачи перейти к задаче на построение. Здесь некоторая сюжетная задача (а стало быть, более понятная) будет сведена к математической.В некоторых случаях к одной и той же задаче полез-ло обращаться несколько раз, с тем чтобы показать уча-щимся различные способы ее решения.В ряде случаев различные по содержанию практические задачи сводятся к одной и той же математической. Так, решение следующих двух задач сводится к реше-нию первой задачи предыдущего примера.В каком месте следует построить переправу, чтобы расстояние от пункта А до пункта В было наименьшим (рис. 19).Шириной реки в данном случае пренебрегаем.Луч из источника света А отражает от экрана Е так, что отраженный луч проходит через точку В. Найти точку экрана, в которой отразился луч света.Еще пример (первая задача - геометрическая, три последующие - практические): Две точки А и В расположены по одну сторону прямой МN. На этой прямой найти такую точ-ку С, чтобы АСМ = ВСN.В какую точку нужно направить луч света из точки А, чтобы он, отразившись от непрозрачного экрана а, попал в точку В (рис 20)? Рис. 19 Рис. 20В какую точку нужно направить упругий шар А, чтобы он, отразившись от упругой стенки, прошел через точку В (рис. 20)?К двум точкам А и В подвешена гибкая нерастяжимая нить, на которую надето тяжелое коль-цо. Найти положение равновесия кольца на нити.Часто оказывается, что математическая задача весь-ма проста, но если вложить в нее практическое содержа-ние, то она становится недоступной. Поэтому полезно в VI-VIII классах рассматривать с учащимися примеры того, как различные практические задачи сводятся к одной и той же математической.Большое образовательное значение имеет ознаком-ление учащихся с приборами, применяемыми на практи-ке при решении некоторых конструктивных задач. Обычно эта работа проводится после решении соответствующих задач на построение. Так, например, после рассмотрения свойства перпендикуляра, проведенного к хорде через ее середину, учащимся предлагается найти центр изображенной на чертеже окружности (возможный порядок решения задачи дан на рис. 21 и 22).Рис. 21 Рис. 222.2.6. Этапы решения задачи на построение.Анализ.Анализ - это важный этап решения задачи, так как здесь мы составляем план построения, по существу, находим решение. Устанавливаются такие зависимости между данными и искомыми элементами, которые дают возможность построить искомую фигуру. При обучении решению задач па построение целесообразно подчерки-вать аналогию, существующую между отысканием ре-шения задач по арифметике, алгебре и геометрии ни вычисление и доказательство и анализом задач на по-строение. Ученик не должен считать, что для нахождения решений задач на построение нужны совершенно новые приемы. Поэтому следует помочь ученикам увидеть ана-логию в применяемых приемах для отыскания решении задач на построение и задач из других дисциплин.При решении задач по алгебре на составление и ре-шение уравнений мы устанавливаем такие зависимости между искомыми и данными величинами. Вначале вни-мательно изучается условие задачи, рассматривается смысл той или иной данной величины. Для более трудных задач используем иллюстрации в виде чертежа или схемы. Предполагая задачу решенной, мы некоторую величину обозначаем буквой х (или другой буквой) и считаем ее известной. Устанавливаем зависимости между этой величиной и величинами, данными в условии задачи, причем из многообразия различных зависимостей выби-раем те, которые позволят решить задачу, в данном случае составить уравнение.Сделаем подобный анализ задачи на по-строение: «Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон».Чтобы найти решение, нужно вначале изучить усло-вие задачи, посмотреть, какие элементы искомого тре-угольники даны. Для этого начертим произвольный тре-угольник А1В1С1 (рис. 25) и отметим элементы, соответ-ствующие данным по усло-вию. Пусть это будет сторо-на А1С1 и угол С1А1В1. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нуж-но показать и разность.Рис. 25Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки С1 или от точки В1 либо на большей отложить меньшую и вновь отклады-вать как от точки В1, так и от точки А1. Если разность будет около точки В1, то тогда данные не связаны между собой и нельзя наметить план решения. Если же В1 А1 отложим от точки В1 на В1С1, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон - будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможно-сти наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру Д2C1A1B1. Лучше всего ввести разность, откладывая B1D1 = B1C1, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру С1А1Д1. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.Построив в произвольной прямой отрезок, равный основанию, получим две вершины треугольника: А1 и С1. Зная угол С1А1В1, мы можем найти и положение точки D1, где D1А1 = В1А1 - В1С1. Остается рассмотреть, как построить точку В1 зная положение точки D1. Так как С1В1 = В1D1, то точка В1 равноудалена от точек С1 и D1, поэтому она должна лежать на перпендикуляре Р1Q1, проведенном к отрезку С1D1 через его середину. Точка пересечения прямой Р1Q1 и луча А1D1 и будет точкой В1. Следовательно, приходим к следующему построению. На произвольной прямой откладываем отрезок, равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из сторон которого содержит построенный отрезок, а вер-шина совпадает с концом этого отрезка. На второй сто-роне угла откладываем отрезок, равный разности двух других сторон треугольника, и строим геометрическое место точек, равноудаленных от соответствующих кон-цов основания и построенного отрезка. Точку пересече-ния этого геометрического места со стороной угла, содержащей разность, соединяем с концом основании и получаем искомый треугольник.Из этого примера видно, что при отыскании реше-ния задачи на построение, как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Сле-дуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру. Название этапа анализ не означает, что для отыскания решения при-меняется только аналитический метод, подобно тому как и при доказательстве, которое иногда называют синтезом, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.Анализ задачи связан с исходным чертежом, по-этому его необходимо выполнять аккуратно, а фигура должна иметь наиболее общую форму. Если речь идет о треугольнике, то нужно брать разносторонний тре-угольник; о трапеции, то не равнобочную трапецию; если о четырехугольнике вообще, то и чертим четырехуголь-ник, который не был бы ни параллелограммом, ни трапе-цией. Если, например, решая задачу на построение тре-угольника, выберем для анализа равносторонний тре-угольник, то учащиеся вместо нужных зависимостей между данными и искомыми элементами могут исполь-зовать и другие связи, которые возникнут у них под впе-чатлением равносторонности треугольника.Чертеж необходимо выполнять аккуратно чертежны-ми инструментами, и лишь после приобретения навыков в вычерчивании отрезков без линейки можно выполнять его от руки. Навыки выполнения чертежей или рисунков от руки особенно необходимы для учащихся, которые в будущем будут иметь дело с техникой, где они должны уметь делать эскизы деталей. С этим они не смогут спра-виться, не имея простейших навыков технического рисо-вания и черчения.Чертеж должен строго соответствовать условию зада-чи. В ряде случаев целесообразно при анализе построе-ние чертежа начинать не с данных, а с искомых элемен-тов фигуры. Если, например, искомая окружность по условию касается некоторой прямой и некоторой окруж-ности в данной на ней точке, то и на чертеже для анализа мы должны видеть их касающимися. Следовательно, вначале надо построить окружность, изображающую искомую, и пристроить касающиеся ее произвольные прямую и окружность.Таким образом, для отыскания решения задач на построение первое время необходимо использовать на-выки, приобретенные учащимися при решении арифме-тических задач, а затем уже и навыки, приобретенные при решении основных задач на построение и других математических задач. Используем также теоретический материал, в том числе и специальные методы геометри-ческих построений.Построение.1. Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей: 1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выпол-нить, согласно анализу, для решения задачи; 2) непо-средственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов - значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, вы-полнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи. Например, до-пустимыми построениями, которые определяют понятие «с помощью циркуля и линейки», являются следующие: 1) построение прямой, проходящей через две данные точки; 2) построение точки пересечения двух данных прямых; 3) построение окружности данного радиуса при заданном центре; 4) построение точек пересечения двух данных окружностей; 5) построение точек пересечении данной прямой и данной окружности.Уже при решении простейших задач мы встречаемся с такими случаями, когда последовательность элемен-тарных построений, нужных для построения искомой фигуры, указана, а практически осуществить их нельзя. Например, требуется построить треугольник по трем сторонам. Всегда можно указать последовательность построений для решения этой задачи, но если одна из сторон больше суммы двух других, то треугольника не получим. И в стереометрии при решении конструктивных задач мы не всегда можем, например, выполнить постро-ение плоскости или сферы так, как мы строим на пло-скости прямые и окружности. И тогда главным является уже не фактическое построение, а указание, в какой последовательности нужно выполнять определенные построения, чтобы решить задачу. Например: «Через дан-ную точку А провести прямую, параллельную данной прямой МN, не. проходящей через точку А». Для этого через точку А и прямую МN проводим плоскость и в ней через точку А проводим прямую, параллельную прямой МN. Задача считается решенной, хоти эти построения мы выполнить не можем.2. Перечисление элементарных построений в разделе «Построение» не всегда является повторением анализа. При анализе мы находим лишь план решения (как и при решении арифметических задач), а потом уже осущест-вляем его, записывая в форме вопросов с выполненными соответствующими действиями; недостаточно лишь уста-новить, как мы будем решать задачу, а нужно привести и само решение.И при решении конструктивных задач, наметив план построении, нужно еще указать, как оно выполняется, так как нередко одно и то же построение, указанное в ана-лизе, можно осуществить различными способами.Решение одной и той же задачи несколькими спосо-бами усиливает интерес учащихся к задачам на построе-ние и сознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по заранее указанным методам, то этим самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении раз-личных и оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно решать конструктивные за-дачи. Они применяют в первую очередь знания изучае-мого материала и навыки, полученные при решении задач, предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для предложенной задачи они изобретут тот же знакомый им путь решения, даже если он нерационален. Указание учителя на существование более простого способа не дает должного эффекта, так как предложенное учителем ре-шение кажется учащимся искусственным, которого они сами не смогли бы найти.Конечно, если это делать до того как ученики при-обретут прочные навыки в отыскании решений различ-ными способами, то результаты окажутся отрицатель-ными. Внимание учащихся каждый раз будет распылять-ся между всеми способами, и они ни одного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно.Различными способами хорошо решать задачи в конце учебного года, при повторении курса геометрии, когда учащиеся уже имеют достаточные навыки в решении задач на построение. Задачу, допускающую различные способы решения, лучше задавать на дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простое решение.Сам учитель должен выбирать тот способ решения, который является наилучшим и с теоретической и с мето-дической точек зрения. Нельзя руководствоваться только простотой построения, понятием геометрографии. Следует учитывать не только трудность выполнения построе-ния, но и трудности анализа, доказательства и исследо-вания.3. Из приведенных примеров видно, что решение не всегда сводится к элементарным построениям, а чаще всего к так называемым основным построениям или основным задачам на построение. Подобно тому, как при доказательстве теорем используются и результаты ранее изученных теорем, а не только аксиом, так и при решении задач на построение при анализе и описании построения используются ранее решенные задачи. Задачи, решение которых в дальнейшем часто используется, обычно отно-сят к основным задачам на построение. Список основных задач на построение определяется учебником, но надо помнить, что задача на построение может или не может быть отнесена к основным и в зависимости от степени подготовки учащихся.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
