качестве таких задач могут выступать, например, задачи, при постановке которых или в процессе решения которых:

учащимся мотивируется целесообразность изучения нового ма-териала, разумность определений геометрических понятий, полез-ность изучения тех или иных теорем;

учащиеся побуждаются к самостоятельному открытию того или иного геометрического факта, к обоснованию того или иного поло-жения, к установлению возможности применения уже усвоенных ими знаний в новой для них ситуации;

учащиеся подводятся к самостоятельному открытию методов доказательства теорем, общих приемов решения задач, к установле-нию новых связей между известными им геометрическими понятиями;

у учащихся формируются умения использовать ведущие мето-ды научного познания (опыт, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение и т. д.) как методы самостоятельного изучения геомет-рии, понимание роли и места индукции, аналогии дедукции в про-цессе познания;

учащиеся обнаруживают взаимосвязь геометрии и алгебры и с другими предметами, устанавливают содержательные и структур-ные связи между различными вопросами самого курса геометрии, получают возможность применить математические знания к реше-нию нематематических задач;

учащиеся приобщаются к самостоятельным поисковым иссле-дованиям (посредством изучения результатов решения задач, из-менения условия задачи, возможных обобщений задачи, отыскания других способов ее решения и отбора того из них, который наиболее полно удовлетворяет заданным условиям, и т. п.);

у учащихся формируются качества, присущие научному мышле-нию (активность, гибкость, глубина, критичность, доказатель-ность и т. п.), умение выражать свою мысль ясно и точно и т.д.

2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ, С ЦЕЛЬЮ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

2.1. Роль задач в обучение, роль задач в развитие логического мышления.

2.1.1. Общее понятие задачи.

Решение многих задач требует от человека хорошо развитой способности к творческой деятельности или, по крайней мере, спо-собности и умения отыскать более или менее оптимальное в данных условиях решение. Поэтому не удивительно то большое значение, которое современная наука придает изучению процесса человече-ской деятельности, поискам эффективных способов управления этой деятельностью, как в сфере производства, так и в обучении.

«Почти всегда изучение любой человеческой деятельности -- в труде или игре -- можно проводить как изучение ситуаций, в которых приходится принимать решения, то есть таких ситуаций, когда один человек или группа людей сталкиваются с необходимо-стью выбора какого-нибудь одного из нескольких действий (хотя бы из двух). Поэтому изучение человеческой деятельности можно в основном свести к изучению поведения человека в условиях про-изводимого им выбора, то есть в условиях ситуаций, в которых нужно принимать решение», т. е. в процессе решения человеком различных задач.

Проблема решения задач как чисто математических, так и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до настоя-щего времени нет общепринятой трактовки самого понятия зада-чи. «Понятие задачи обычно используется только в ограниченном объеме: говорят о научных (математических, физических и т. п.) задачах, о задачах в образовании, о задачах политических, хозяй-ственных, технических. Общее понятие задачи еще не выработано».

Главной причиной такого положения дел, несомненно, являются, прежде всего, объективнее трудности, связанные с характеристикой этого понятия в общем виде. Вместе с тем немалое значение имеет и то обстоятельство, что до недавнего времени для большинства исследователей наибольшую практическую ценность представляло изучение процесса решения задач человеком как важной поведенче-ской проблемы, а также путей повышения эффективности процес-са решения задач человеком).

2.1.2. Роль задач в обучении математике.

В процессе обучения математике задачи выполняют, разнообраз-ны» функции. Учебные математические задачи являются очень эф-фективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математиче-ских теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математиче-ском воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в фактических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется поло-вина учебного времени уроков математики (700--800 академических часов в IV--X классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков уча-щиеся.

В этой главе рассматриваются общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении математике, общие методы, приме-няемые при решении задач, и т. д. Значительное внимание уделяется вопросам организации обучения решению задач на уроках, приводят-ся «практические рекомендации, которые могут быть использованы в процессе учебной работы над задачей.

Значение учебных математических задач

При обучении математике задачи имеют большое и многосторон-нее значение.

1.2.1. Образовательное значение математических задач. Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теорети-ческие разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приоб-ретает математические знания, повышает свое математическое образовавшие. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточ-ной тренировке -- и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

1.2.2. Практическое значение математических задач. При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятель-ности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, по-вседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах при-ходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математиче-ских задач. Математические задачи решаются в физике, химии, био-логии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особен-но в их теоретических основах, и др.

Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практиче-ским, жизненным содержанием.

1.2.3. Значение математических задач в развитии мышления. Ре-шение математических задач приучает выделять посылки и заключе-ния, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопо-ставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А. Я. Хинчин, воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной ар-гументации. Решение задачи должно быть полностью аргументиро-ванным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмот-рение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность симво-лики.

1.2.4. Воспитательное значение математических задач. Прежде всего, задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяет-ся в различные периоды развития общества. Так, в русских дорево-люционных задачниках и в задачах, которые решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и перепродаже товара, расчетов выигрыша-проигрыша в азарт-ной игре и т. п.

Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей.

Роль задач в обучении математике

Каждая конкретная учебная математическая задача предназна-чается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагоги-ческих, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как Содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее при-менения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

2.1. Обучающая роль математических задач.

Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся си-стем л знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.

1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при усло-вии дательной и кропотливой работы над понятиями, их определе-ния» и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его Определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое зна-ние достигается, прежде всего, при решении задач и выполнении упражнений.

2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим язы-ком и, следовательно, математической символикой. Простейшая, сим-вол и вводится еще в начальной школе и в IV--V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назна-чение. Приведенные далее задачи способствуют пониманию роли скобок и учат их верному употреблению.

Существенное значение в овладение изучаемой символикой имеет правильное ее применение при записи решений задач. Учитель должен внимательно следить за грамотным применением математических символов в записях. Нельзя признать правильными такие, например, записи:

«p < 2 на 3», « Докажем - ность прямых a и b» и др. Следовало бы записать в первом случае: «p меньше, чем 2 на 3», или «2 - p = 3», или «2 - 3 = p», или «p + 3 = 2», «2 - 3 = p», а во втором: «Докажем, что ab».

3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказатель-ствам - одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начи-нается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и эле-ментарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказатель-ства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы пред-ставляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой сим-волики и используемого языка. Примеры задач-вопросов:

5. х > у. Обязательно ли x2 > у2?

6. Могут ли две биссектрисы треугольника быть перпендикуляр-ными? А две высоты?

Существенную роль в обучении доказательствам играют упраж-нения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же ма-тематики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет.

2.1.3. Роль математических задач в развитии мышления.

1) Мыслительные умения, вос-приятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анали-зировать заданную ситуацию, сопо-ставлять данные и искомые, решае-мую задачу с решенными ранее, вы-являя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и чет-ко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении за-дачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической навыки.

Исследованиями советских психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Инди-видуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач раз-вивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математи-ческих задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.

2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятель-ность учеников на уроке.

Математические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обу-чаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева - утверждения, выкладки, вычисления, справа - аргументы, т.е. предложения, подтверждающие правильность вызванных утверждений, выполняемых выкладкой и вычислений.

Разумеется, нет необходимости так записывать решение каждой задачи, допустима и устная аргументация.

Взрослому человеку, как в повседневной жизни, так и в профес-сиональном труде для принятия правильных решений исключительно важно уметь рассматривать все возможные случаи создавшейся ситуации. Это надо разъяснять и школьникам. Важно такое умение и при изучении математики, в противном случае неизбежны ошибки. Умение же предусмотреть все возможные варианты некоторой ситуа-ции свидетельствует о развитости мышления рассматривающего эту ситуацию.

Умение рассуждать включает в себя и умение оценивать истин-ность или ложность высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, т. е. логически правильно употреблять союзы «и», «или», отрицание «не». Обучение вер-ному применению этих связок помогает воспитанию у учащихся мате-матически грамотной речи, а мышление, как известно, связано с язы-ком, речью человека.

Полезно научить школьников, верно, формулировать отрицания тех или иных предложений. Такое умение особенно важно при ре-шении задач сведением к противоречию.

Существенно для развития математического мышления учащихся формирование умений правильно выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении задач на доказатель-ство. На первых же порах необходимы упражнения в расчленении

некоторых предложений на досылки и заключения.

3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность уча-щихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы матема-тические задачи и упражнения, которые бы активизировали мысли-тельную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведе-ние (при их решении опираются на память и внимание); задачи, ре-шение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов.

2.1.4. Значение геометрических задач.

Задачи являются неотъемлемой составной частью курса гео-метрии в средней школе. Действительно, лишенный задач курс элементарной геометрии представлял бы собой лишь группу теорем размещенных более или менее последовательно. Пользы от изуче-ния такого курса очень мало.

Во-первых, учащимся пришлось бы у «вызубривать» содержа-ние этих теорем, поскольку школьники не видели бы никакого применения изучаемого материала. Был бы нарушен из-вестный дидактический принцип сознательности обуче-ния.

Во-вторых, такой курс не был бы связан с другими дисциплинами, входящими в программу средней школы, в том числе и с другими математическими дисциплинами.

В-третьих, такой курс ни в малейшей степени не способствовал бы развитию пространственных представлений учеников.

В-четвертых, такой курс не дал бы школьникам подготовки к решению даже простейших практических задач.

Поэтому весь школьный курс геометрии должен быть насыщен различными упражнениями. Как бы ни менялись программа и количество часов, отводим на изучение геометрии, решение задач остается важнейшей частью курса.

Разумеется, речь идет не о произвольном наборе задач. Задачи являются первой формой применения знаний, полученных школьниками в процессе изучения геометрии. Поэтому предлагае-мые задачи должны соответствовать подготовке учеников, причем речь идет не только о соответствии общем (программе, учебнику), но и об учете знаний конкретного класса, особенностей про-изводственного обучения и т. д.

Однако задачи играют не только вспомогательную роль - зак-реплять знания изученного теоретического материала, но и обучающую роль в процессе решения задач школьники знако-мятся с методами математического рассуждения, расширяют кругозор.

При подготовке к теме урока учитель особое внимание об-ращает на подбор упражнений. Основным источником для под-бора задач является стабильный задачник. Однако он не может быть единственным источником. Вводной книге нельзя поместить достаточного количества упражнений и для ведения индиви-дуальной работы как с теми учащимися, которые временно стали в учебе, так и с теми, кто определил своих товарищей, и для повторения материала (в конце темы, четверти, учебного года и для проведения контрольных работ).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты